数论—快速幂算法

Posted 2020-10-09

快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log?N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

简单来说，就是个二分求模的过程 。

那么怎么让“聪明”的计算机实现呢？

非递归：
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,c;
ll kuai(ll x,ll y,ll z)
{
　　ll ans=1; x%=z;
　　while (y)
　　{
　　　　if (y%2==1) ans=ans*x%z;
　　　　y/=2; x=x*x%z; //比如说{3^15=3*(3^7)*(3^7)}%z,就直接可以写成{3*(3*3)^7}%z
　　}
return ans;
}
int main()
{
　　cin>>a>>b>>c;
　　cout<<kuai(a,b,c)<<endl;
　　return 0;
}

 

递归版（是一类似模板的题 [NOIP提高组2013]转圈游戏的题解）：方法一样
#include<iostream>
using namespace std;
long long n;

long long kuai(int y)//求10的b次幂
{
　　if (y==0) return 1;
　　else
　　{
　　long long k;
　　k=kuai(y/2);
　　if (y%2==0) return k*k%n;
　　else return k*k*10%n;
　　}
}

int main()
{
　　//freopen("circle.in","r",stdin);
　　//freopen("circle.out","w",stdout);
　　long long m,k,x;
　　cin>>n>>m>>k>>x;
　　cout<<(m*kuai(k)+x)%n<<endl;
　　return 0;
}