分治算法 ------最大子段和

Posted 2020-10-09 JoeLee2017

 

1.最大子段和问题的描述

 

 

2.分治策略的求解思路

 

 

 

用分治法求解这个问题 。

在数组的 center = (right-left)/2+left 位置处分开。形成两个子数组。

那么，最大子段和 可能出现在三个位置：

　　　　　　　　　　a.可能出现在 左 子数组 

　　　　　　　　　　b. 可能出现在 右子数组 

　　　　　　　　　　c.可能出现在 过center的 中间某部分 元素 组成的子数组。

 

（一定会过center 吗？ 为什么一定会过center？因为这是分治过程，center的值会发生改变，当然，计算中所包含的数也会发生改变，所以，不要死盯着 (0+array.length）/2 的center，center 是 （left+right）/2 ，而不是 （0+array.length）/2

 

下面考虑 三种情况的计算方法：

第一种情况： 计算 left 到 center 的最大和，记作 leftSum

第二种情况： 计算从 center+1 到 right的最大和，记作 rightSum

第三种情况： 跨边界的和。 ；以center为中心分别向两边计算和。

　　　　　　 a.从 center出发，每次向左边扩张一步，并且记录当前的值S1，如果当前的和比上次的和大，就更新S1，一　　　　　　直向左扩张到 位置  Left。 

　　　　　　b.从 center+1出发，每次扩张一步，计算当前的和 为S2，如果当前的值比上次的和 大，那么，就更新S2的　　　　　　值，一直向右扩张到位置Right。

　　　　　　c.计算过center的连续值的和，S1+S2的值 Sum。 这个就是跨边界的和。

 上面三种情况考虑计算完成后，最后一步就是，比较三个值中的最大值，取最大值就可以了。

 

 

 3.分治方法求解的伪码

 

 

 

4.最后考虑用分治方法求解的时间复杂度。

我们在（left+right）/2处，把大问题分成了两个部分的小问题

T（N）1=2T(N） , T（N）2=N

在跨边界求和的时候，我们需要计算 从center出发的到 left方向的最大和，每次增加一个元素，通过比较，得到最大的和，

时间复杂度为O（N），同样， 从center+1 出发的到  right 方向的最大和，每次增加一个元素，通过比较，得到最大的和，时间复杂度 为 O(N) ，所以，时间复杂度为  O(N)

 

 

5. 代码