清北学堂模拟赛d3t3 c

Posted 2020-10-09 zbtrs

分析：一开始拿到这道题真的是无从下手，暴力都很难打出来.但是基本的方向还是要有的，题目问的是方案数，dp不行就考虑数学方法.接下来比较难想.其实对于每一行或者每一列，我们任意打乱顺序其实对答案是没有影响的.那么我们按照高度从大到小对行和列进行排序，单独考虑所有高度相等的行和列，组成了一个L形，如果我们把所有的L形的方案数求出来最后乘起来就是答案了，关键就是怎么求它的方案数.

     要求L形中满足每行每列最大高度不超过H的方案数很难求，因为不好保证最大高度，正难则反，先求出不满足的，但是不满足的也比较难求，我们就先求出有一行不满足的，一列不满足的，然后求出两行不满足的，两列不满足的，这其实就是一个容斥原理，处于限制的行和列由于取的数小于H,所以每一位能取H个数，而没有限制的可以取0~H,共H+1个数，那么方案数就出来了:H^(限制的面积) + (H+1)^（没有限制的面积）* (-1)^|S|,就像下面一个图：

 

 蓝色部分没有限制，黑色部分有限制，黑色部分和蓝色部分组成了一个L形.

正难则反，如果求满足某某条件很难，就求出不满足某某条件的，如果还是很难，就分解一下，利用容斥原理来做.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 9;
long long n, m,a[10010],b[10010],x,y;
long long ans = 1,c[100][100];

void init()
{
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 90; i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= 90; j++)
            c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
    }
}

long long qpow(long long a, long long b)
{
    long long res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = (res * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }
    return res;
}

long long cal(long long x, long long y, long long nx, long long ny, int p)
{
    long long res = 0;
    for (long long i = 0; i <= nx; i++)
        for (long long j = 0; j <= ny; j++)
        {
        long long temp = qpow(p, x * y - (x - i) * (y - j)) * qpow(p + 1, (x - i) * (y - j) - (x - nx) * (y - ny)) % mod * c[nx][i] % mod * c[ny][j] % mod;
        if ((i + j) & 1)
            res = ((res - temp) % mod + mod) % mod;
        else
        {
            res += temp;
            while (res >= mod)
                res -= mod;
        }
        }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        long long x;
        scanf("%lld", &x);
        a[x]++;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        long long x;
        scanf("%lld", &x);
        b[x]++;
    }
    init();
    for (int i = 10000; i >= 0; i--)
        if (a[i] || b[i])
        {
        x += a[i];
        y += b[i];
        ans = ans * cal(x, y, a[i], b[i],i) % mod;
        }
    printf("%lld\\n", ans);

    return 0;
}