洛谷 P3197 [HNOI2008]越狱 题解

Posted 2020-10-09

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题目链接 ：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3197

题目描述

监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

输入输出格式

输入格式：

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

输出格式：

可能越狱的状态数，模100003取余

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

6

说明

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

 

分析：

组合数学问题，乘法原理。

可能越狱的状态数 = 总状态数 - 不可能越狱的状态数

总状态数：m^n

不可能越狱的状态数：m * (m-1)^(n-1)

第一个人的信仰可以是任意一种，但是第二个人要跟第一个人不同，所以只有m-1种，第三个人又要跟第二个人不同，也是只有m-1种，等等。

快速幂求出后再相减即可。

注意取模之后的总状态数可能会小于不可能越狱状态数，所以ANS = (ANS+MOD)%MOD

 

AC代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 
 6 const long long MOD = 100003;
 7 
 8 inline void read(long long &x)
 9 {
10     char ch = getchar(),c = ch;x = 0;
11     while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) c = ch,ch = getchar();
12     while(ch <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘) x = (x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch = getchar();
13     if(c == ‘-‘) x = -x;
14 }
15 
16 long long m,n,a,b,ans;
17 
18 long long ksm(long long a,long long b)
19 {
20     long long base = a,ans = 1;
21     for(;b;b>>=1)
22     {
23         if(b&1)
24             ans = ans*base%MOD;
25         base = base*base%MOD;
26     }
27     return ans;
28 }
29 
30 int main()
31 {
32     read(m),read(n);
33     a = ksm(m,n);
34     b = ksm(m-1,n-1)*m%MOD;
35     ans = a-b+MOD;
36     printf("%lld",ans%MOD);
37     return 0;
38 }