POJ 2778 DNA Sequence ( AC自动机Trie图矩阵快速幂DP )

Posted 2020-10-09

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了POJ 2778 DNA Sequence ( AC自动机Trie图矩阵快速幂DP )相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题意 : 给出一些病毒串，问你由ATGC构成的长度为 n 且不包含这些病毒串的个数有多少个

分析 : 这题搞了我真特么久啊，首先你需要知道的前置技能包括 AC自动机、构建Trie图、矩阵快速幂，其中矩阵快速幂和AC自动机可能都熟悉，但是这题为什么和矩阵有关系？Trie图是什么呢？好像只听说过Trie树啊！下面我慢慢展开，首先声明本人水平实在实在有限，理解错误的地方请批评指证，万分感激！

与矩阵的联系( 你可能需要百度.... ) ==> 解决此题就要先了解到如何用矩阵去解决求从A点到B点刚好经过K步的方案数( 可走重复点 )，在 Matrix67的博客里面就有说，并且HDU 2157就是一道原题，可以尝试去了解并且用快速幂AC它，总之最后的结论就是将整幅图转化为邻接矩阵，然后对矩阵求 k 次幂，最后矩阵的(A, B)点数值就是答案。这一题通过Trie图的转化，最后会变成一个很相似的问题，因此就能用矩阵优化解决。

如何转化？强烈推荐参考==>http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/7834801

但是！这篇博客虽然解释的很棒，我一开始看完之后还是十分模糊，后来了解到这和普通的AC自动机是有区别的，上述博客当中构建出来的是Trie图，这和AC自动机的区别是啥呢？

技术分享

何谓AC自动机保存后缀节点跳转？何谓”补边“？我是这么理解的，AC自动机在失配时要通过保存的 Fail 不断跳转来达到下一个合法状态，而Trie图是将所有的跳转信息存起来了，不用繁琐的跳，状态转移直接转即可（理解有误请指出！）先来看看这幅图的“效果”，构建此Trie图就是为了模拟构建长度为 n 的合法串的这个过程，想象一下当前构建到了....A这样末尾为A的一个串，那后面能再添什么字符呢？根据上图的“指示”，我们能够添C吗？显然不行，添C就会到达节点 2 这个不合法的状态，那 A 呢？显然是可以的，增添了A之后并没有转移到其他状态，合法！那G和T呢？当然也是可以的，这样会让状态转化到 0 节点。根据这样的规则，那么 n = 1 且 m = {"ACG"、"C"}的时候答案是 3，模拟一下看看就知道了！那么最后的答案是不是从 0 这个初始节点走 K 步到达所有合法节点的方案和呢？是不是跟刚刚的那个矩阵问题很类似呢？实际上就是构建了一个状态图，每一个节点都拥有向“ATCG"转移的能力，也就是有四条出度，但是普通的AC自动机面对非法节点是无法用 Fail 来进行一步转移的，可能要回溯几步，但是我们总是希望状态能够一步被转移，代表从一个状态到另一个状态步数+1，也就是什么意思呢？比如 1 这个节点的 A 出度这条边是不存在的，就需要我们去”补边“，很显然这条边应该是补向当前节点 Fail 节点指向的节点的 A 这条边，由于是自上而下 BFS 序更新，所以能够保证前面所有节点的 A 出边已经被计算出来，那么 1 的 Fail 指向的是 0 ，0 的A出边指向 1 ，所以 1 的 A 出边实际上还是指向自己，其他的也是类似。总的来说就是利用了原来AC自动机中不应该去更新的一些出边根据 Fail 补了上去，以达到方便进行状态转移，代码实现很简单，就是在原AC自动机BFS构建 Fail 指针的代码的时候对于不存在Next[i]的节点将其指向当前节点 Fail 节点指向Next[i]，如果你看过我的AC自动机模板代码，那么会发现代码只是加多了一个语句就能达到这个效果，当然！我们还是需要添加一个标记来标记不合法节点的，值得注意的是，如果当前节点的 Fail 指向的节点是不合法节点的话，那么这个状态转移也是不允许的！

    inline void BuildFail(){
        Node[0].fail = -1;
        que.push(0);
        while(!que.empty()){
            int top = que.front();  que.pop();
            if(Node[ Node[top].fail ].flag) Node[top].flag = 1;///如果当前节点的Fail指针指向的节点也是末尾节点，那么这个节点也是不合法的！

            for(int i=0; i<Letter; i++){
                if(Node[top].Next[i]){
                    if(top == 0) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0;
                    else{
                        int v = Node[top].fail;
                        while(v != -1){
                            if(Node[v].Next[i]){
                                Node[ Node[top].Next[i] ].fail = Node[v].Next[i];
                                break;
                            }v = Node[v].fail;
                        }if(v == -1) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0;
                    }que.push(Node[top].Next[i]);
                }else Node[top].Next[i] = top!=0?Node[ Node[top].fail ].Next[i]:0;///多了这一句！
            }
        }
    }

根据上述所说，实际上构建 Fail 和 ”补边“的代码还能更简便，如下

//1) 如果son[i]不存在，将它指向 当前结点now的fail指针指
//向结点的i号后继(保证一定已经计算出来)。

//2) 如果son[i]存在，将它的fail指针指向 当前结点now的fail
//指针指向结点的i号后继(保证一定已经计算出来)。
    inline void BuildFail(){
        Node[0].fail = -1;
        for(int i=0; i<Letter; i++){
            if(Node[0].Next[i]){
                Node[Node[0].Next[i]].fail = 0;
                que.push(Node[0].Next[i]);
            }else Node[0].Next[i] = 0;///必定指向根节点
        }
        while(!que.empty()){
            int top = que.front(); que.pop();
            if(Node[Node[top].fail].flag) Node[top].flag = 1;
            for(int i=0; i<Letter; i++){
                int &v = Node[top].Next[i];
                if(v){
                    que.push(v);
                    Node[v].fail = Node[Node[top].fail].Next[i];
                }else v = Node[Node[top].fail].Next[i];
            }
        }
    }

那么只要我们绘出了这副 Trie 图，我们就能知道各个点到其他点只通过一步的方案数，最后存到矩阵去进行 n 次快速幂，最后累加从 0 到其他合法点的答案即可

如果不懂！没关系，那些都是我参考了很多东西得出来的口胡，可以看看原文，以上参考 ==>

http://www.doc88.com/p-9913363530128.html ( AC自动机与 Trie图 )

blog.csdn.net/mobius_strip/article/details/22549517 ( 大牛的总结 )

http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2014/07/10/207604.html ( AC自动机与 Trie 图 )

最后AC代码(96ms) 提醒 : 如果TLE了，那么矩阵快速幂的过程中加完一行再模，不要边加边模

#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;

const int Max_Tot = 1e2 + 10;
const int Letter  = 4;
const int MOD = 1e5;
int maxn;
int mp[128];

struct mat{ int m[111][111]; }unit, M;

mat operator * (mat a, mat b)
{
    mat ret;
    long long x;
    for(int i=0; i<maxn; i++){
        for(int j=0; j<maxn; j++){
            x = 0;
            for(int k=0; k<maxn; k++){
                x += (long long)a.m[i][k]*b.m[k][j];
            }
            ret.m[i][j] = x % MOD;
        }
    }
    return ret;
}

inline void init_unit() { for(int i=0; i<maxn; i++) unit.m[i][i] = 1; }

mat pow_mat(mat a, int n)
{
    mat ret = unit;
    while(n){
        if(n&1) ret = ret * a;
        a = a*a;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

struct Aho{
    struct StateTable{
        int Next[Letter];
        int fail, flag;
    }Node[Max_Tot];
    int Size;
    queue<int> que;

    inline void init(){
        while(!que.empty()) que.pop();
        memset(Node[0].Next, 0, sizeof(Node[0].Next));
        Node[0].fail = Node[0].flag = 0;
        Size = 1;
    }

    inline void insert(char *s){
        int now = 0;
        for(int i=0; s[i]; i++){
            int idx = mp[s[i]];
            if(!Node[now].Next[idx]){
                memset(Node[Size].Next, 0, sizeof(Node[Size].Next));
                Node[Size].fail = Node[Size].flag = 0;
                Node[now].Next[idx] = Size++;
            }
            now = Node[now].Next[idx];
        }
        Node[now].flag = 1;
    }

    inline void BuildFail(){
        Node[0].fail = -1;
        que.push(0);
        while(!que.empty()){
            int top = que.front();  que.pop();
            if(Node[ Node[top].fail ].flag) Node[top].flag = 1;///如果当前节点的Fail指针指向的节点也是末尾节点，那么这个节点也是不合法的！

            for(int i=0; i<Letter; i++){
                if(Node[top].Next[i]){
                    if(top == 0) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0;
                    else{
                        int v = Node[top].fail;
                        while(v != -1){
                            if(Node[v].Next[i]){
                                Node[ Node[top].Next[i] ].fail = Node[v].Next[i];
                                break;
                            }v = Node[v].fail;
                        }if(v == -1) Node[ Node[top].Next[i] ].fail = 0;
                    }que.push(Node[top].Next[i]);
                }else Node[top].Next[i] = top!=0?Node[ Node[top].fail ].Next[i]:0;///多了这一句！
            }
        }
    }
////1) 如果son[i]不存在，将它指向 当前结点now的fail指针指
////向结点的i号后继(保证一定已经计算出来)。
//
////2) 如果son[i]存在，将它的fail指针指向 当前结点now的fail
////指针指向结点的i号后继(保证一定已经计算出来)。
//    inline void BuildFail(){
//        Node[0].fail = -1;
//        for(int i=0; i<Letter; i++){
//            if(Node[0].Next[i]){
//                Node[Node[0].Next[i]].fail = 0;
//                que.push(Node[0].Next[i]);
//            }else Node[0].Next[i] = 0;///必定指向根节点
//        }
//        while(!que.empty()){
//            int top = que.front(); que.pop();
//            if(Node[Node[top].fail].flag) Node[top].flag = 1;
//            for(int i=0; i<Letter; i++){
//                int &v = Node[top].Next[i];
//                if(v){
//                    que.push(v);
//                    Node[v].fail = Node[Node[top].fail].Next[i];
//                }else v = Node[Node[top].fail].Next[i];
//            }
//        }
//    }

    inline void BuildMatrix(){
        for(int i=0; i<Size; i++)
            for(int j=0; j<Size; j++)
                M.m[i][j] = 0;
        for(int i=0; i<Size; i++){
            for(int j=0; j<Letter; j++){
                if(!Node[i].flag && !Node[ Node[i].Next[j] ].flag)
                    M.m[i][Node[i].Next[j]]++;
            }
        }
        maxn = Size;
    }

}ac;

char S[11];
int main(void)
{
    mp[‘A‘]=0,
    mp[‘T‘]=1,
    mp[‘G‘]=2,
    mp[‘C‘]=3;
    int n, m;
    while(~scanf("%d %d", &m, &n)){
        ac.init();
        for(int i=0; i<m; i++){
            scanf("%s", S);
            ac.insert(S);
        }
        ac.BuildFail();
        ac.BuildMatrix();
//        for(int i=0; i<10; i++){
//            for(int j=0; j<10; j++){
//                printf("%d ", M.m[i][j]);
//            }puts("");
//        }puts("");

        init_unit();
        M = pow_mat(M, n);

//        for(int i=0; i<10; i++){
//            for(int j=0; j<10; j++){
//                printf("%d ", M.m[i][j]);
//            }puts("");
//        }puts("");

        int ans = 0;
        for(int i=0; i<ac.Size; i++)
            ans += M.m[0][i];
        ans %= MOD;
        printf("%d\\n", ans);
    }
    return 0;
}

瞎想 : AC自动机上的DP真的好难啊！！！

以上是关于POJ 2778 DNA Sequence ( AC自动机Trie图矩阵快速幂DP )的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

POJ2778 DNA Sequence

POJ2778DNA Sequence（AC自动机）

POJ2778 DNA Sequence AC自动机上dp

线性代数（矩阵乘法）：POJ 2778 DNA Sequence

POJ 2778 DNA Sequence（AC自动机+矩阵快速幂）

[POJ2778]DNA Sequence（AC自动机 + DP + 矩阵优化）