luogu P3200 [HNOI2009]有趣的数列

Posted 2020-10-09 ck666

P3200 [HNOI2009]有趣的数列

2017-09-17

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题目描述

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；

(2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n；

(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

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输入输出格式

输入格式：

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n<=1000，100%的数据满足n<=1000000且P<=1000000000。

输出格式：

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

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输入输出样例

输入样例#1：

3 10

输出样例#1：

5         
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

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卡特兰数的题,上网找公式;C(n,2*n)/(n+1)%p,一开始看到组合数就想乘法逆元但是p不是质数,好痛楚啊.最少得用欧拉
换一个思路，如果都是乘法就避免逆元了.于是数组质因数模拟乘法次数,分子上+1,分母-1直接上乘法mod

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=2000000+999;
int read(){
    int an=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘){an=an*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return an*f;
}
int n,P,cnt;
ll ans=1;
int maxp[maxn],pri[maxn],con[maxn];//maxp[i]表示i最大分解的质数编号 
bool pd[maxn<<1];
void Cirno(){
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(!pd[i])cnt++,pri[cnt]=i,maxp[i]=cnt;
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(i*pri[j]>2*n)break;
            pd [i*pri[j]] =1;
            maxp [i*pri[j]] = j;
            if(! (i%pri[j]) )break;
        }
    }
}
void add(int x,int d){
    while(x!=1){    
        con[ maxp[x] ]+=d;
        x/=pri[ maxp[x] ];
    }
}

int main(){
    n =read();P=read();
    Cirno();
    for(int i=2*n;i>n;i--)add(i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        while(con[i])con[i]--,ans=ans*pri[i]%P;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

Cirno

by:s_a_b_e_r

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卡特兰数。（并不知道怎么推出来的）
n2递推式TLE，线性递推式因为p不一定是质数于是也不能用，只能直接求
但是这个p不是质数超级麻烦qwq。不能直接求，要分解质因数
因为这题原因不会有分解后除完某个数出现小数的情况（忘了怎么证的了qwq），所以可以放心乘
（顺带一提代码里mn[i]存的是i最大的质因数）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=2000000;
int n,p,cnt;
int pri[N],a[N],mn[N];
bool isp[N];
long long ans=1;
void prime()
{
    for(int i=2;i<=2*n;++i)
    {
        if(!isp[i])pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(i*pri[j]>2*n)break;
            isp[i*pri[j]]=1;
            mn[i*pri[j]]=j;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}
void add(int k,int v)
{
    while(k!=1)
    {
        a[mn[k]]+=v;
        k/=pri[mn[k]];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    prime();
    for(int i=n+1;i<=2*n;++i)add(i,1);
    for(int i=1;i<=n+1;++i)add(i,-1);
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
    while(a[i]--)ans=(ans*pri[i])%p;
    cout<<ans;
    return 0;
} 

[HNOI2009]有趣的数列

by:wypx

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