EM算法及其推广

Posted 2020-07-01 demon7639

第9章 EM算法及其推广

EM算法是一种迭代算法，用于含有隐变量(hidden variable)的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望(expectation)；M步，求极大( maximization )，所以这一算法称为期望极大算法(expectation maximization algorithm)，简称EM算法。

9.1  EM算法的引入

 

一般地，用Y表示观测随机变量的数据，Z表示隐随机变量的数据。Y和Z连在一起称为完全数据( complete-data )，观测数据Y又称为不完全数据(incomplete-data)。假设给定观测数据Y，其概率分布是P(Y | theta)，其中theta是需要估计的模型参数，那么不完全数据Y的似然函数是P(Y | theta)，对数似然函数L(theta)=logP(Y | theta)；假设Y和Z的联合概率分布是P(Y, Z }句，那么完全数据的对数似然函数是log P(Y, Z | theta)。

观测数据的似然函数为

EM算法通过迭代求L(theta)=logP(Y | theta)的极大似然估计。每次迭代包含两步E步，求期望；M步，求极大化。

定义9.1 ( Q函数) 完全数据的对数似然函数log P(Y, Z | theta)关于在给定观测数据Y和当前参数theta⁽ⁱ⁾下对未观测数据Z的条件概率分布P(Z | Y,theta⁽ⁱ⁾)的期望称为Q函数，即

EM算法说明:

    步骤(1)参数的初值可以任意选择。但需注意EM算法对初值是敏感的。

    步骤(2)  E步求Q(theta, theta⁽ⁱ⁾)。Q函数式中Z是未观测数据，Y是观测数据。注意，Q(theta, theta⁽ⁱ⁾)的第1个变量theta表示要极大化的参数，第2个变量theta⁽ⁱ⁾表示参数的当前估计值。每次迭代实际在求Q函数及其极大。

    步骤(3)  M步求Q(theta, theta⁽ⁱ⁾)的极大化，得到theta⁽ⁱ⁺¹⁾，完成一次迭代theta⁽ⁱ⁾-->theta⁽ⁱ⁺¹⁾。后面将证明每次迭代使似然函数增大或达到局部极值。

    步骤(4)给出停止迭代的条件，一般是对较小的正数，若满足

则停止迭代.

EM算法的导出

 

通过近似求解观测数据的对数似然函数的极大化问题来导出EM算法，由此可以清楚地看出EM算法的作用。面对一个含有隐变量的概率模型，目标是极大化观测数据(不完全数据)Y关于参数theta

的对数似然函数，即极大化

这一极大化的主要困难是式中有未观测数据并有包含和(或积分)的对数。

EM算法是通过迭代逐步近似极大化L(theta)的。

每次迭代需要满足：新估计值 theta能使L(theta)增加，并逐步达到极大值。i次迭代前后的差值为：

利用jensen不等式可以得出下界

   

为使L(theta)极大，选择theta^{(i+1)使B极大，可得，}

等价于EM算法的一次迭代，即求Q函数及其极大化。EM算法是通过不断求解下界的极大化逼近求解对数似然函数极大化的算法。

EM算法的直观解释：图中上方曲线为L(theta)，下方曲线为B(theta, theta⁽ⁱ⁾)，为对数似然函数L(theta)的下界，且在 theta=theta⁽ⁱ⁾处相等。EM算法找到下一个点theta⁽ⁱ⁺¹⁾使函数B(theta, theta⁽ⁱ⁾)极大化，也使函数Q(theta, theta⁽ⁱ⁾)极大化。函数B的增加，保证对数似然函数L在每次迭代中也是增加的。EM算法在点theta⁽ⁱ⁺¹⁾重新计算Q函数值，进行下一次迭代。在这个过程中，对数似然函数L不断增大。从图可以推断出EM算法不能保证找到全局最优值。

EM算法在非监督学习中的应用

训练数据只有输入没有对应的输出(X,？)，从这样的数据学习模型称为非监督学习问题。EM算法可以用于生成模型的非监督学习，生成模型由联合概率分布P(X, Y)表示，可以认为非监督学习训练数据是联合概率分布产生的数据。X为观测数据，Y为未观测数据。

9.2  EM算法的收敛性

定理9.1 设P(Y | theta)为观测数据的似然函数，theta⁽ⁱ⁾ (i=1, 2,...)为EM算法得到的参数估计序列，P(Y | theta⁽ⁱ⁾ )(i=1, 2,...))为对应的似然函数序列，则P(Y | theta⁽ⁱ⁾ )是单调递增的，即

定理9.2 

 

设P(Y | theta)为观测数据的似然函数，theta⁽ⁱ⁾ (i=1, 2,...)为EM算法得到的参数估计序列，L(theta⁽ⁱ⁾)=P(Y | theta⁽ⁱ⁾ )(i=1, 2,...))为对应的似然函数序列，

    (1)如果P(Y | theta)有上界，则L(theta⁽ⁱ⁾)收敛到某一值L^*;

    (2)在函数Q与L满足一定条件下，由EM算法得到的参数估计序列theta⁽ⁱ⁾的收敛值theta*是L(theta)的稳定点。

 

 

 

EM算法的收敛性包含关于对数似然函数序列L的收敛性和关于参数估计序列theta的收敛性两层意思，前者并不蕴涵后者。此外，定理只能保证参数估计序列收敛到对数似然函数序列的稳定点，不能保证收敛到极大值点。所以在应用中，初值的选择变得非常重要，常用的办法是选取几个不同的初值进行迭代，然后对得到的各个估计值加以比较，从中选择最好的。

9.3  EM算法在高斯混合模型学习中的应用

定义9.2 (高斯混合模型) 高斯混合模型是指具有如下形式的概率分布模型:

称为第k个分模型。

高斯混合模型参数估计的EM算法

假设观测数据由高斯混合模型生成，

   

1. 明确隐变量。写出完全数据的对数似然函数

可以设想观测数据y_j是这样产生的：首先依概率a_k选择第k个高斯分布分模型；然后依第k个分模型的概率分布生成观侧

数据y_j。这时观测数据y_j是已知的；反映观测数据y_j来自第k个分模型的数据是未知的，k=1,2,... ,K，为隐变量定义如下：

是0-1随机变量。

那么完全数据是

完全数据的似然函数为：

  

对数似然函数为：

2.  EM算法的E步:确定Q函数

其中。

是在当前模型参数下第j个观测数据来自第k个分模型的概率，称为分模型k对观测数据y_j的响应度。

 

3. 确定EM算法的M步

迭代的M步是求函数Q对theta的极大值，即求新一轮迭代的模型参数

通过求偏导并令其为0和约束条件可得，

 

9.4  EM算法的推广

EM算法还可以解释为F函数(F function)的极大-极大算法(maximization-maximization algorithm)，基于这个解释有若干变形与推广，如广义期望极大(generalized expectation maximization,  GEM)算法。

 F函数的极大-极大算法

定义9.3 (F函数) 假设隐变量数据Z的概率分布为 P^~(Z)，定义分布 P^~ 与参数theta的函数F( P^~ ,theta）如下

成为F函数，其中H是分布 P^~(Z)的熵。

引理9.1 对于固定的theta，存在唯一的分布P^~(theta)极大化F，这时P^~(theta)由下式给出:

并且P^~(theta)随theta连续变化.

 

定理9.3 设L(theta)=P(Y | theta)为观测数据的对数似然函数，theta⁽ⁱ⁾,i=1,2,... 为EM算法得到的参数估计序列，如果函数

F(P^~ ,theta)在户P^~*和theta^*有局部极大值，那么L(theta)也在theta^*有局部极大值。类似地，如果F在P^~*和theta^*达到全局最大值，那么L也在theta^*达到全局最大值。

定理9.4   EM算法的一次迭代可由F函数的极大-极大算法实现。

    设theta⁽ⁱ⁾为第i次迭代参数theta的估计，P^~(i)为第i次迭代函数P^~的估计。在第i+1次迭代的两步为

    (1) 对固定的theta⁽ⁱ⁾，求P^~(i+1)使F(P^~,theta⁽ⁱ⁾)极大化

    (2) 对固定的P^~(i+1)，求theta⁽ⁱ⁺¹⁾使F(P^~(i+1),theta)极大化

通过以上两步完成了EM算法的一次迭代。由此可知，由EM算法与F函数的极大-极大算法得到的参数估计序列是一致的。

EM算法的推广--GEM算法

   

在GEM算法1中，有时求Q(theta，theta⁽ⁱ⁾)的极大化是很困难的。

GEM算法2和GEM算法3并不是直接求theta⁽ⁱ⁺¹⁾使Q达到极大的theta，而是找一个theta⁽ⁱ⁺¹⁾使得Q(theta⁽ⁱ⁺¹⁾, theta⁽ⁱ⁾) >Q(theta⁽ⁱ⁾, theta⁽ⁱ⁾)

当参数theta的维数为d(d>=2)时，可采用一种特殊的GEM算法，它将EM算法的M步分解为d次条件极大化，每次只改变参数向量的一个分量，其余分量不改变。

GEM算法的特点是每次迭代增加F函数值(并不一定是极大化F函数)，从而增加似然函数值。

 

来自为知笔记(Wiz)