对分析动力学的一些理解

Posted 2020-10-09 huangzc

一个自由质点的位置在空间中的位置需要三个坐标确定，一个质点系里面若有n个质点，当然就需要3n个坐标确定了。

也就是说一个包含n个质点的质点系的位形对应了3n维空间中的一个点，在这3n维空间中取定一组线性无关的基底，则

这3n维空间中的一点就对应某时刻质点系的一个位形。

 

但是一般而言，质点系都会受到约束，使得这3n个坐标不能独立地变动。设有s个完整约束，那么可以独立变动的坐标

就只剩下 k=3n-s 个，叫做自由度。这k个坐标不一定只取直角坐标系下的分量，可以灵活选取，如角度，距离等，我们

把选取的k个能够确定质点系在约束下的位形的相互独立地坐标叫做广义坐标。

 

我们的目标是要找到这个受约束质点系（或称之为系统）的动力学方程，一般是关于时间变量的常微分方程组，求解这个

常微分方程组就可以得到坐标（或广义坐标）关于时间的显示表达式（或关系），那么系统的位形随时间的演变规律也就

知道了。

 

那么我们怎么得到系统的动力学方程呢？牛顿告诉我们，在每一时刻（或瞬时），质点系中的每个质点在主动力和约束力

作用下会有一个加速度，这个加速度可以由牛顿第二定律在已知外力（主动力和约束力）的情况下求出来；而达朗贝尔告

诉我们，引入惯性力，在每一时刻，质点在主动力，约束力，和惯性力作用下形式上可以看成处于平衡状态。

可以达朗贝尔原理通过平衡条件去建立系统的动力学方程，但是这样和直接使用牛顿第二定理没什么差别，只是把惯性力

移到等式左边罢了。达朗贝尔原理的重要性在于将动态的（或运动的）系统看成平衡态来处理的这么一个思想，即是将求

动力学方程转化为求静平衡条件。

 

处理受约束系统的静平衡条件我们有虚位移原理，把达朗贝尔原理和虚位移原理结合起来就可以得到处理动力学方程的动

力学普遍方程。虚位移原理告诉我们受约束系统处于平衡状态的充分必要条件，而达朗贝尔原理将求动力学方程转化为求

平衡条件，所以两者结合起来就可以得到求系统动力学方程的方法（或方程），我们称之为动力学普遍方程。

 

我们来看虚位移原理，虚位移原理有两个关键点，一个是双面定常理想约束，还有一个是虚位移。在双面定常理想约束下

约束反力在虚位移下做的功为零。虚位移原理告诉我们，受双面定常理想约束的系统保持平衡状态的充分必要条件是，该

系统上的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功的和等于零。结合达朗贝尔原理，系统在（形式上的）平衡态下还受到惯

性力，所以动力学普遍方程的表述是，受双面定常理想约束的系统，其上所有的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功的

总和等于零。

 

 到此位置，我们知道了动力学普遍方程可以用来求系统的动力学方程，但是上式是对每一个质点建立的，一方面没有考虑

约束，广义坐标；另一方面对刚体动力学而言，也不是直接运动的（刚体是连续的，有无穷多个质点），对刚体动力学运

用动力学普遍方程，一般是先将惯性力向某一点简化。

 

 

刚体是有特殊约束条件的一类质点系。

 

约束优化，最小势能。

 

哈密顿体系，相空间，对偶空间