[vijos1891]学姐的逛街计划

Posted 2020-10-09

分析：

可以记第i天去不去逛街为a[i],第i天智商为val[i]；

设：

p[1] = a[1] + a[2] + …… + a[n] <= k；

p[2] = a[2] + a[3] + …… + a[n + 1] <= k

……

p[n * 2 + 1] = a[n * 2 + 1] + a[n * 2 + 2] + …… + a[3 * n] <= k

然后添加辅助变量y[i]，设q[i] = p[i] + y[i] = k

可得：

q[1] = p[1] +y[1] = k 

q[2] = p[2] +y[2] = k

……

q[n * 2 + 1] = p[n * 2 + 1] +y[n * 2 + 1] = k

添加 辅助变量 q[0] = 0，q[n * 2 + 2] = 0

依次相减得到：

q[1] - q[0] = a[1] + a[2] + …… + a[n] + y[1] = k; ---- 1

q[2] - q[1] = a[n + 1] - a[1] + y[2] - y[1] = 0; ----2

q[3] - q[2] = a[n + 2] - a[2] + y[3] - y[2] = 0;----3

……

q[n * 2 + 2] - q[n * 2 + 1] = - a[n * 2 + 1] - a[n * 2 + 2] - …… - a[3 * n] - y[n * 2 + 1] = -k;-----n * 2 + 2

可以发现每一个变量都在等式中出现了两次，并且一次为正，一次为负，正相对于网络流中的流量守恒，流进等于流出（实际流量即为变量的值）

于是我们可以把每个等式看成一个点。把源点和第一个点连流量为k，花费为0。汇点和最后一个点连流量为k，花费为0；

对于每一个a[i]把它在等式中为正的点连向它在等式中为负的点，流量为1，花费为-val[i]。（因为求最大费用最大流，花费取负数后答案再倒回来就行）

对于每一个y[i]把它在等式中为正的点连向它在等式中为负的点，流量为k，花费为0。

然后求一遍最小费用最大流，答案取相反数（这样变成了最大费用最大流），就为我们要的答案。

贴上AC代码：

  1 #include <cstdio>
  2 #include <iostream>
  3 #include <cstring>
  4 #include <queue>
  5 using namespace std;
  6 const int N = 1e4;
  7 const int M = 4e5;
  8 const int INF = 0x3f3f3f3f;
  9 using namespace std;
 10 struct Edge
 11 {
 12     int from, to, cap, flow, cost, next;
 13 };
 14 Edge edge[M];
 15 int head[N], inde,pre[N], dist[N];
 16 bool vis[N];
 17 int n,k;
 18 void init()
 19 {
 20     inde = 0;
 21     memset(head, -1, sizeof(head));
 22 }
 23 void AddEdge(int u, int v, int w, int c)
 24 {
 25     Edge E1 = {u, v, w, 0, c, head[u]};
 26     edge[inde] = E1;
 27     head[u] = inde++;
 28     Edge E2 = {v, u, 0, 0, -c, head[v]};
 29     edge[inde] = E2;
 30     head[v] = inde++;
 31 }
 32 bool SPFA(int s, int t)
 33 {
 34     queue<int> Q;
 35     memset(dist, INF, sizeof(dist));
 36     memset(vis, false, sizeof(vis));
 37     memset(pre, -1, sizeof(pre));
 38     dist[s] = 0;
 39     vis[s] = true;
 40     Q.push(s);
 41     while(!Q.empty())
 42     {
 43         int u = Q.front();
 44         Q.pop();
 45         vis[u] = false;
 46         for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
 47         {
 48             Edge E = edge[i];
 49             if(dist[E.to] > dist[u] + E.cost && E.cap > E.flow)
 50             {
 51                 dist[E.to] = dist[u] + E.cost;
 52                 pre[E.to] = i;
 53                 if(!vis[E.to])
 54                 {
 55                     vis[E.to] = true;
 56                     Q.push(E.to);
 57                 }
 58             }
 59         }
 60     }
 61     return pre[t] != -1;
 62 }
 63 void MCMF(int s, int t, int &cost, int &flow)
 64 {
 65     flow = 0;
 66     cost = 0;
 67     while(SPFA(s, t))
 68     {
 69         int Min = INF;
 70         for(int i = pre[t]; i != -1; i = pre[edge[i^1].to])
 71         {
 72             Edge E = edge[i];
 73             Min = min(Min, E.cap - E.flow);
 74         }
 75         for(int i = pre[t]; i != -1; i = pre[edge[i^1].to])
 76         {
 77             edge[i].flow += Min;
 78             edge[i^1].flow -= Min;
 79             cost += edge[i].cost * Min;
 80         }
 81         flow += Min;
 82     }
 83 }
 84 int cnt,s,t;
 85 int node[503],val[603];
 86 int st[603],en[603];
 87 void getMap(){
 88     s = ++cnt;t = ++cnt;
 89     for(int i = 1;i <= n * 2 + 2;i++){
 90         node[i] = ++cnt;
 91     }for(int i = 1;i <= 3 * n;i++)scanf("%d",&val[i]);
 92     AddEdge(s,node[1],k,0);
 93     AddEdge(node[n * 2 + 2],t,k,0);
 94     for(int i = 1;i <= n;i++)st[i] = node[1];
 95     for(int i = n + 1;i <= 3 * n;i++)st[i] = node[i - n + 1];
 96     for(int i = 1;i <= 2 * n;i++)en[i] = node[i + 1];
 97     for(int i = 2 * n + 1;i <= 3 * n;i++)en[i] = node[n * 2 + 2];
 98     for(int i = 1;i <= 3 * n;i++)AddEdge(st[i],en[i],1,-val[i]);
 99     for(int i = 1;i <= 2 * n + 1;i++)AddEdge(node[i],node[i + 1],k,0);
100 }
101 int main()
102 {
103       scanf("%d %d",&n,&k);
104         init();
105         getMap();
106         int cost, flow;
107         MCMF(s,t, cost, flow);
108         printf("%d\n",-cost);
109     return 0;
110 }