关于数论康托展开及其逆运算

Posted 2020-10-09 AKCqhzdy

表示这个东西背了很多次，但是次次忘，希望这次能够记住吧。

康托展开：
问45231是n=5的全排列中第几个排列？
ans:= 3*4! + 3*3! + 1*2! + 1*1! + 0*0! =93
这时求出的是在45231前面全部的排列，排名还要加1
所以对此的做法，就是将阶乘前面的求出来，这个就是在a[i]前面，还没出现过的数字。比如4前面1~3都没出现而1(或2或3)xxxx肯定在4xxxx前面，因为有四个不定的数字，所以乘上4！

逆运算：
问n=5的全排列中第94个是谁？94先-1
94/4!=3.875
所以第一个数字前面有3个数字
94先减3*4!=22
22/3!=3.6666666666666666666666666666667
前面还是有三个，因为4之前用过了，所以是5
由此类推。

模板题caioj1220:

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,a[20];
LL jc[20];
bool bo[20];
void kangtuo1()
{
    jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        jc[i]=jc[i-1]*i;
    }
    LL ans=0;//有多少个这个全排列前面的 
    memset(bo,false,sizeof(bo));//这个有没有在前面出现过
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    { 
        int k=0;//k表示前面有多少个没被访问过的
        for(int j=1;j<a[i];j++)
            if(bo[j]==false)k++;
        bo[a[i]]=true;//当前这个数被访问过 
        ans+=k*jc[n-i];//乘以当前个数的阶乘 
    }
    printf("%lld\n",ans+1);
}
void kangtuo2()
{
    LL ans;
    scanf("%lld",&ans);ans--; 
    memset(bo,false,sizeof(bo)); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        LL k=ans/jc[n-i];//有多少个比第i个位置小的数 
        ans-=k*jc[n-i];
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(bo[j]==false)
            {
                if(k==0)
                {
                    a[i]=j;
                    bo[a[i]]=true;
                    break;
                }
                k--;
            }
    }
    for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);
    printf("%d\n",a[n]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    kangtuo1();
    kangtuo2();
    return 0;
}