51Nod1203 2012集训队答辩 JZPLCM
Posted Fenghr
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了51Nod1203 2012集训队答辩 JZPLCM相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
A1339. JZPLCM(顾昱洲)
时间限制：3.0s 内存限制：256.0MB
试题来源
2012中国国家集训队命题答辩
问题描述
给定一长度为n的正整数序列a，有q次询问，每次询问一段区间内所有数的lcm(即最小公倍数)。由于答案可能很大，输出答案模1000000007。
输入格式
第一行，两个整数，n, q，分别表示数列长度和询问个数。
下面n行，每行一个整数，第i行的整数为ai。
下面q行，每行两个整数l, r，表示询问下标i在[l, r]范围内的ai的lcm。
下面n行，每行一个整数，第i行的整数为ai。
下面q行，每行两个整数l, r，表示询问下标i在[l, r]范围内的ai的lcm。
输出格式
q行。对于每个询问，输出一行，表示对应的答案。
样例输入
3 3
123
234
345
1 2
2 3
1 3
123
234
345
1 2
2 3
1 3
样例输出
9594
26910
1103310
26910
1103310
数据范围
n,q<10w,ai<=1e9。
这题这么神我肯定要放上来啊。
首先51Nod的数据是经过弱化的，并没有那么强。
对于51Nod的数据，我们可以用一种比较皮的方法艹过去。
一些数的LCM就是对每个质数的指数取max。
对于大于sqrt(x)的质数，这个指数最大是1。所以对于这些数，我们只需要判断在这些区间内是否出现过就可以了。这个问题可以用莫队算法+桶实现。
对于小于等于sqrt(x)的质数，经过打表发现这种质数只会有约50个。我们可以把每一个数S[i]分解质因数后存进50个表里，每次询问对这50个质数分别来一次区间求最值。因为表定型后不涉及修改操作，可以使用ST表把单次询问降低到O(1)。
所以说这道题需要写两个程序。
莫队算法转移的复杂度是O(1)的，该部分复杂度是O(n*sqrt(n))。
倍增算法预处理的复杂度是O(50*n*log(n))的，处理询问复杂度是O(50*n)的。
鉴于这题空间不是很足，要对每个小质数一个一个处理ST表，空间复杂度为O(n*log(n)+n*50)。
对于大于sqrt(x)的质数，这个指数最大是1。所以对于这些数，我们只需要判断在这些区间内是否出现过就可以了。这个问题可以用莫队算法+桶实现。
对于小于等于sqrt(x)的质数，经过打表发现这种质数只会有约50个。我们可以把每一个数S[i]分解质因数后存进50个表里，每次询问对这50个质数分别来一次区间求最值。因为表定型后不涉及修改操作，可以使用ST表把单次询问降低到O(1)。
所以说这道题需要写两个程序。
莫队算法转移的复杂度是O(1)的，该部分复杂度是O(n*sqrt(n))。
倍增算法预处理的复杂度是O(50*n*log(n))的，处理询问复杂度是O(50*n)的。
鉴于这题空间不是很足，要对每个小质数一个一个处理ST表，空间复杂度为O(n*log(n)+n*50)。
但是对于Ai<=1e9就无能为力了。
然后队爷给了一种很强力的做法，发现我的思维能力跟队爷完全不在一个时代上。
一般我做题，先把问题模型化，一般化，再根据数据范围选择合适的算法/数据结构一顿爆艹。
但是队爷做题有两种思路，这就比我不知高到哪里去了。
一种思路：原问题 - 一般化(强化)的问题 - 解决一般化的问题 - 解决原问题。
另一种思路是：先思考某种特殊情况，一般是比较好处理的，再推广到原问题。
其实这种思路在很多解题报告中也有出现：
“我们讨论只有一条链的情况。”
“我们先来看一下没有约束的情况。”
“这个a很讨厌，我们先不管它。”
……
划下重点。
所以我们先来假设每一个数都是无平方因子数。
这种情况我只会莫队，果然是数据结构学傻(不对数据结构也不会写)。
这时候问题化为：某区间所有出现过的数的积(不同数的积)。
这是一个我不会的经典问题，好像之前看到有些题考这个？
对于上面的问题，我们考虑对于一组询问[l,r]。
找到每个数上一次出现的位置pre[i](如果没有出现就是0)。
那么就要求的是
对于这种问题，可以有如下解决方式：
设询问为f(l,r,l)，则询问等价为
所以你要写一种数据结构，支持上面的操作。
显然可以离线+树状数组。
那么有平方甚至多次方因子呢？
假设一个数A[i]可以写成p的q次方(p为质数，q为满足被整除的最大值)。
那可以把这个数拆成q个数p,p^2,p^3……p^q，每个数的权值都是p。
于是问题就转化成了上面的弱化问题，只是区间长度变了而已。
于是这题就解决了(好神啊突然开车)。
略显尴尬的是我的代码比较长……
下面放对于51Nod数据的爆艹法。
莫队+倍增
树状数组
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <vector> #include <cstring> #include <queue> #include <complex> #include <stack> #define LL long long int #define dob double #define FILE "JZPLCM" using namespace std; const int N = 50010; const int Mod = 1e9+7; struct Node{int to,next;}E[N]; int n,m,P[N],vis[N],tot,S[N],Ny[N],block,A[20][N],bel[N],bin[N],B[51][N]; int Log[N],Pw[51][N],Ans[N],res=1,head[N],Tot; struct Data{ int l,r,id; bool operator <(const Data &d)const{ if(bel[l]==bel[d.l])return r<d.r; return bel[l]<bel[d.l]; } }Ask[N]; inline int gi(){ int x=0,res=1;char ch=getchar(); while(ch>\'9\'||ch<\'0\'){if(ch==\'-\')res*=-1;ch=getchar();} while(ch<=\'9\'&&ch>=\'0\')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*res; } inline void link(int u,int v){ E[++tot]=(Node){v,head[u]}; head[u]=tot; } inline void prepare(){ for(int i=2;i<N;++i){ if(!vis[i])P[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot;++j){ int ytk=i*P[j];if(ytk>=N)break; vis[ytk]=1;if(i%P[j]==0)break; } } Ny[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) Ny[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*Ny[Mod%i]%Mod; } inline void Insert(int x){ for(int e=head[x];e;e=E[e].next){ int y=E[e].to;bin[y]++; if(bin[y]==1)res=1ll*res*y%Mod; } } inline void Delete(int x){ for(int e=head[x];e;e=E[e].next){ int y=E[e].to;bin[y]--; if(bin[y]==0)res=1ll*res*Ny[y]%Mod; } } inline void Modui(){ memset(bin,0,sizeof(bin)); Insert(S[1]);int l=1,r=1; for(int i=1;i<=m;++i){ if(r<Ask[i].r) for(int j=r+1;j<=Ask[i].r;++j) Insert(S[j]); if(r>Ask[i].r) for(int j=r;j>Ask[i].r;--j) Delete(S[j]); if(l<Ask[i].l) for(int j=l;j<Ask[i].l;++j) Delete(S[j]); if(l>Ask[i].l) for(int j=l-1;j>=Ask[i].l;--j) Insert(S[j]); l=Ask[i].l;r=Ask[i].r; Ans[Ask[i].id]=1ll*Ans[Ask[i].id]*res%Mod; } } int main() { freopen(FILE".in","r",stdin); freopen(FILE".out","w",stdout); prepare();n=gi();m=gi();block=sqrt(n); bin[0]=1;for(int i=1;i<=16;++i)bin[i]=bin[i-1]*2; for(int i=1,j=0;i<=n;i*=2,j++)Log[i]=j; for(int i=1;i<=N;++i) if(!Log[i])Log[i]=Log[i-1]; for(int i=1;i<=n;++i)S[i]=gi(),bel[i]=i/block+1; for(int j=1;j<=n;++j){ int ytk=S[j]; for(int i=1;i<=50;++i){ int num=0; while(ytk%P[i]==0)num++,ytk/=P[i]; B[i][j]=num; if(ytk==1)break; } if(ytk>1)link(S[j],ytk); } for(int i=1;i<=50;++i){ Pw[i][0]=1; for(int j=1;j<=19;++j) Pw[i][j]=1ll*Pw[i][j-1]*P[i]%Mod; } for(int i=1;i<=m;++i){ int l=gi(),r=gi();Ans[i]=1; Ask[i]=(Data){l,r,i}; } for(int k=1;k<=50;++k){ for(int i=1;i<=n;++i)A[0][i]=B[k][i]; for(int i=1;i<=16;++i) for(int j=1;j<=n;++j) A[i][j]=max(A[i-1][j],A[i-1][min(n,j+bin[i-1])]); for(int i=1;i<=m;++i){ int l=Ask[i].l,r=Ask[i].r,dt=r-l+1,Lg=Log[dt]; int Mx=max(A[Lg][l],A[Lg][r-bin[Lg]+1]); Ans[i]=1ll*Ans[i]*Pw[k][Mx]%Mod; } } sort(Ask+1,Ask+m+1);Modui(); for(int i=1;i<=m;++i) printf("%d\\n",Ans[i]); return 0; }
然后是对于51Nod的数据很多地方跑不过原数据的树状数组。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <vector> #include <cstring> #include <queue> #include <complex> #include <stack> #define LL long long int #define dob double #define FILE "JZPLCM" #define c233 printf("\\n"); using namespace std; const int N = 50010; const int M = N*50; const int Mod = 1e9+7; struct Data{ int r,tr,kind,id; bool operator <(const Data &d)const{ return tr<d.tr; } }opt[N*40]; struct Pair{ int pre,id,val; Pair(){}; Pair(int p,int i,int v){pre=p;id=i;val=v;} bool operator <(const Pair &p)const{ return pre<p.pre; } }Y[M]; int n,m,P[N],tot,vis[N],A[N],cnt,ED[N],pre[M],bin[N],top,Ans[N],W[M],V[M]; struct BIT{ int T[M]; inline void clear(){ for(int i=0;i<=cnt;++i)T[i]=1; } inline int lb(int k){ return k&-k; } inline void update(int x,int val){ for(;x<=cnt;x+=lb(x))T[x]=1ll*T[x]*val%Mod; } inline int query(int x,int res=1){ for(;x>0;x-=lb(x))res=1ll*res*T[x]%Mod; return res; } }T; inline int gi(){ int x=0,res=1;char ch=getchar(); while(ch>\'9\'||ch<\'0\'){if(ch==\'-\')res*=-1;ch=getchar();} while(ch<=\'9\'&&ch>=\'0\')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*res; } inline void prepare(){ for(int i=2;i<N;++i){ if(!vis[i])P[++tot]=i; for(int j=1,ytk;j<=tot;++j){ ytk=i*P[j];if(ytk>=N)break; vis[ytk]=1;if(i%P[j]==0)break; } } } inline int QPow(int d,int z,int res=1){ for(;z;z>>=1,d=1ll*d*d%Mod) if(z&1)res=1ll*res*d%Mod; return res; } inline void solve(){ int i=1,j=1;T.clear(); while(i<=cnt && j<=top){ if(Y[i].pre<=opt[j].tr) T.update(Y[i].id,Y[i].val),++i; else{ int id=opt[j].id; if(opt[j].kind==1)Ans[id]=1ll*Ans[id]*T.query(opt[j].r)%Mod; else Ans[id]=1ll*Ans[id]*QPow(T.query(opt[j].r),Mod-2)%Mod; ++j; } } while(j<=top){ int id=opt[j].id; if(opt[j].kind==1)Ans[id]=1ll*Ans[id]*T.query(opt[j].r)%Mod; else Ans[id]=1ll*Ans[id]*QPow(T.query(opt[j].r),Mod-2)%Mod; ++j; } } int main() { freopen(FILE".in","r",stdin); freopen(FILE".out","w",stdout); n=gi();m=gi();prepare(); for(int i=1;i<=n;++i)A[i]=gi(); for(int i=1;i<=n;++i){ int ytk=A[i]; for(int j=1;P[j]<=ytk/P[j];++j) if(ytk%P[j]==0){ W[++cnt]=P[j];ytk/=P[j];V[cnt]=P[j]; while(ytk%P[j]==0) ++cnt,W[cnt]=W[cnt-1]*P[j],V[cnt]=P[j],ytk/=P[j]; } if(ytk>1)W[++cnt]=ytk,V[cnt]=ytk; ED[i]=cnt; } for(int i=1;i<=cnt;++i)pre[i]=bin[W[i]],bin[W[i]]=i; for(int i=1;i<=cnt;++i)Y[i]=Pair(pre[i],i,V[i]); sort(Y+1,Y+cnt+1); for(int i=1;i<=m;++i){ int l=gi(),r=gi();Ans[i]=1; opt[++top]=(Data){ED[r],ED[l-1],1,i}; opt[++top]=(Data){ED[l-1],ED[l-1],-1,i}; } sort(opt+1,opt+top+1);solve(); for(int i=1;i<=m;++i)printf("%d\\n",Ans[i]); return 0; }
以上是关于51Nod1203 2012集训队答辩 JZPLCM的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章