Hihocoder #1075 : 开锁魔法III （组合数学+动态规划）

Posted 2020-07-01

题目链接

题目大意：有n个箱子，每个箱子中放着一个箱子的钥匙，可以用魔法打开k个箱子，问最终能打开所有箱子的概率是多少。

思路：首先我们想到，如果一组箱子的打开目标能构成一个环，那么这个箱子中只要打开一个就随意了。问概率的话，最好想的做法就是用A事件发生的次数/事件总数。事件总数很好求，就是在n个箱子中选择k个打开：C[n][k].

然后考虑有多少种合法的打开方式，我开始想的是直接用组合数学乱搞，乘法原理，设一共有tot个环，每个环的大小分别是a1,a2,a3...atot;计算的时候先a1*a2*...*atot,然后如果tot<k,再乘上C[n][k-tot];感觉好像很正确呀，但是姜爷（faebdc)表示我肯定想错了。

再思考下，发现会有很多重复的情况，关键就在于最后的C[n][k-tot]不确定性太大，实际上看一下数据范围（n<=300),如果要真的直接乘起来就能得到答案，那完全可以把数据范围增加到10000. 我们考虑将统计过程细节化，记f[i][j]表示前i个环中开了j个箱子保证每个环至少开一个的方案数，那么只要f[i][j]!=0，就可以向后转移，枚举第i+1个环开几个箱子记作ad,那么f[i+1][j+ad]+=f[i][j]*C[sz[i+1]][k],也就是第i+1个环中选ad个的方案数*前i个环中选j个的方案数（这里是一个分步计数，要用乘法原理）的和（这是分类计数，用ad讨论，使用加法原理）。

程序不知道怎么，在hiho上过不了，和标称对拍一点错也没有。路过的大神帮忙看下吧。谢谢了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 #define N 310
 7 int n,k,to[N],tot,sz[N],T; bool visit[N];
 8 double f[N][N],C[N][N];
 9 void Init()
10 {    C[1][0]=1.0,C[1][1]=1.0;
11     for (int i=2;i<=300;i++)
12     {    C[i][0]=1.0; 
13         for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];    
14     }
15 }
16 int main()
17 {    Init();cin>>T;
18     while (T--){
19     scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&to[i]);    
20     memset(sz,0,sizeof(sz));memset(visit,0,sizeof(visit));
21     for (int i=1;i<=n;i++)
22     if (!visit[i])
23     {    int cnt=0,cur=i;for(;!visit[cur];visit[cur]=1,cnt++,cur=to[cur]); 
24         sz[++tot]=cnt;
25     }
26     if (k<tot){printf("%.9lf\\n",0.0);continue;}
27     memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=1.0;
28     for (int i=0;i<tot;i++)
29         for (int j=0;j<k;j++) 
30              if (f[i][j]) 
31              {    for (int ad=1;ad<=sz[i+1]&&ad+j<=k;ad++)
32                     f[i+1][j+ad]+=f[i][j]*C[sz[i+1]][ad];
33              }
34     printf("%.9lf\\n",f[tot][k]/C[n][k]);
35     }
36     return 0; 
37 }
38     

WA Code

把造数据的东西和对拍器都发上来吧。

 1 #include<iostream>
 2 #include<ctime>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 bool visit[100000];
 7 int main()
 8 {    freopen("data.in","w",stdout);    
 9     srand(time(0));
10     cout<<1<<endl;
11     int n=300;    
12     cout<<n<<endl;int sum=0;
13     while (sum<n)
14     {    int a=rand();    
15         a=a%n+1;    
16         if (visit[a]==0)
17         {    sum++;
18             visit[a]=1;
19             cout<<a<<‘ ‘;
20         }
21     }
22     return 0;
23 }
24             
25         

Make Data

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 using namespace std;
 6 int main()
 7 {    for (int i=1;i<=1000;i++) 
 8     {    system("hiho1075data");    
 9         system("hiho1075 < data.in >a.out");
10         system("hiho1075r < data.in >b.out");    
11         system("fc a.out b.out");
12     }
13     return 0;
14 }

Duipai

能AC的东东（转自http://www.cnblogs.com/wzj-is-a-juruo/p/4802655.html）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cctype>
 3 #include<queue>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 #include<algorithm>
 7 #define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
 8 #define dwn(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
 9 #define ren for(int i=first[x];i;i=next[i])
10 using namespace std;
11 inline int read() {
12     int x=0,f=1;char c=getchar();
13     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1;
14     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘;
15     return x*f;
16 }
17 const int maxn=310;
18 int n,k,size[maxn],cnt,v[maxn],vis[maxn];
19 double f[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
20 int main() {
21     int T=read();
22     C[0][0]=1;
23     rep(i,0,300) rep(j,0,i) C[i+1][j+1]+=C[i][j],C[i+1][j]+=C[i][j];
24     while(T--) {
25         n=read();k=read();cnt=0;
26         memset(size,0,sizeof(size));
27         memset(vis,0,sizeof(vis));
28         rep(i,1,n) v[i]=read();
29         rep(i,1,n) if(!vis[i]) {
30             cnt++;int j=i;
31             do size[cnt]++,vis[j]=1,j=v[j];while(j!=i);
32         }
33         memset(f,0,sizeof(f));
34         f[1][0]=1.0;int cur=0;
35         rep(i,1,cnt) {
36             rep(j,0,cur) rep(k0,1,size[i]) f[i+1][j+k0]+=f[i][j]*C[size[i]][k0];
37             cur+=size[i];
38         }
39         printf("%.6lf\\n",f[cnt+1][k]/C[n][k]);
40     }
41     return 0;
42 }

AC Code