31-矩阵相乘

Posted 2020-10-08 ystraw

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.矩阵连乘最少计算量 (10分)

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题目内容：

 n个矩阵A1,A2,...,An, ，如果其维度分别为d0xd1, d1xd2, ...dn-1xdn,则可以进行连乘运算A1A2A3..An . 
连乘运算可以采取不同的顺序进行，如(A1A2)A3 和 A1(A2A3),这两种顺序的消耗乘法计算量是不同的,前者是
d0.d1.d2+d0.d2.d3，后者d0.d1.d3+d1.d2.d3.

第1步选择哪两个，第2步又选择哪两个，一直到最后算出结果需要做n-1次决定。其中有一种计算顺序使得
A1A2A3..An总的乘法计算量最小。

输入描述

第一行输入n
第二行输入维度向量d0,d1,...dn

输出描述

输出所需的最少乘法次数。

输入样例

4
2 3 2 4 3

输出样例

48
思路： 区间dp, 设dp[i][j]表示第i个矩阵到第j个矩阵之间合并的最少相乘次数
则递归方程为： dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + d[i-1]*d[k]*d[j]); i < k < j;
需要知道相邻矩阵的乘法规则：A1（x1, y1）* A2(x2, y2) = x1 * y1 * y2;(x表示行,y表示列)

#include <iostream>
using namespace std;
int dp[100][100];
int a[100];
int n;

int fun(int i, int j){
	if(i == j)
		return dp[i][j];
	if(i == j - 1)
		return dp[i][j] = a[i - 1] * a[i] * a[j];
	if(i < j - 1){
		dp[i][j] = 10000000;
		for(int k = i + 1; k < j; k++)
			dp[i][j] = min(dp[i][j], fun(i, k) + fun(k + 1, j) + a[i - 1] * a[j] * a[k]);
	}
	return dp[i][j];
}

int main(){
	cin >> n;
	
	for(int i = 0; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	cout << fun(1, n);
	
	return 0;
}