跟锦数学2017年上半年

Posted 2020-10-08 张祖锦的数学博客

(170101) 设 $A$ 是数域 $\\bbF$ 上的 $n$ 阶反对称矩阵. 若 $n$ 是奇数, 试证: $|A|=0$.

(170102) 设 $A$ 是数域 $\\bbF$ 上的 $n$ 阶反对称矩阵, $\\al$ 是 $n$ 维列向量. 若 $n$ 是偶数, 试证: $$\\bex |A+x\\al \\al^t|=|A|. \\eex$$

(170103) 设 $A$ 是 $m\\times n$ 阶实矩阵, 试证: $$\\bex \\r(A)=\\r(A^tA)=\\r(AA^t). \\eex$$

(170104) 设 $A,B$ 是 $n$ 阶实半正定矩阵, 试证: $$\\bex \\r(A+B)=\\r\\sex{A\\atop B}=\\r(A,B). \\eex$$

 (170105) 设 $A,B$ 是 $m\\times n$ 阶实矩阵, 满足 $A^tB+B^tA=0$. 试证: $$\\bex \\r(A+B)\\geq \\max\\sed{\\r(A),\\r(B)}. \\eex$$

(170106) 设 $f:(-a,a)\\bs \\sed{0}\\to (0,+\\infty)$ 满足 $$\\bex \\lim_{x\\to 0}\\sez{f(x)+\\f{1}{f(x)}}=2. \\eex$$ 试证: $\\dps{\\lim_{x\\to 0}f(x)=1}$.

(170107) 设 $\\al>0$, 试证: $\\dps{\\vlmp{x}\\f{\\ln x}{x^\\al}=0}$.

(170108) 设 $$\\bex \\lim_{x\\to 0}f(x)=0,\\quad \\lim_{x\\to 0}\\f{f(2x)-f(x)}{x}=0. \\eex$$ 试证: $$\\bex \\lim_{x\\to 0}\\f{f(x)}{x}=0. \\eex$$

(170109) Zhou, Yong. Weighted regularity criteria for the three-dimensional Navier-Stokes equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 139 (2009), no. 3, 661--671.

(170110) 设 $f(x),g(x)$ 分别是 $m$ 次和 $n$ 次多项式, 其中 $m>0,n>0$. 证明: (1) 存在次数低于 $n$ 的多项式 $u(x)$ 与次数低于 $m$ 的多项式 $v(x)$ 使得 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=res(f(x),g(x))$; (2) $(f(x),g(x))=1$ 当且仅当 $res(f(x),g(x))\\neq 0$. 这里, 对任意的多项式 $$\\bex f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\cdots+a_1x+a_0, \\eex$$ $$\\bex g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\\cdots+b_1x+b_0, \\eex$$ 我们定义 $f(x),g(x)$ 的结式 $res(f(x),g(x))$ 为由两多项式系数形成的 Sylvester 矩阵 $A$ 的行列式, 其中 ($f$ 的系数有 $m$ 行, $g$ 的系数有 $n$ 行) $$\\bex A=\\sexm{ a_n&a_{n-1}&\\cdots&a_1&a_0&&\\\\ &\\ddots&\\ddots&\\ddots&\\ddots&\\ddots&\\\\ &&a_n&a_{n-1}&\\cdots&a_1&a_0\\\\ b_m&b_{m-1}&\\cdots&b_1&b_0&&&\\\\ &\\ddots&\\ddots&\\ddots&\\ddots&\\ddots&&\\\\ &&b_m&b_{m-1}&\\cdots&b_1&b_0 }, \\eex$$

(170111) Stein, E. M. Note on singular integrals. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 250--254.

(170112) Caffarelli, L.; Kohn, R.; Nirenberg, L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), no. 6, 771--831.

(170113) Zhou, Yong. Regularity criteria in terms of pressure for the 3-D Navier-Stokes equations in a generic domain. Math. Ann. 328 (2004), no. 1-2, 173--192.

(170114) Fan, Jishan; Ahmad, Bashir; Hayat, Tasawar; Zhou, Yong. On blow-up criteria for a new Hall-MHD system. Appl. Math. Comput. 274 (2016), 20--24.

(170115) 已知 $A$ 为三阶实正交矩阵, $\\det A=1$. 试证: 存在正交矩阵 $P$, 使得 $$\\bex P^tAP=\\sexm{ 1&0&0\\\\ 0&\\cos\\tt&-\\sin\\tt\\\\ 0&\\sin\\tt&\\cos\\tt }, \\eex$$ 其中 $$\\bex \\cos\\tt=\\frac{a_{11}+a_{22}+a_{33}-1}{2}. \\eex$$

(170116) Ru, Shaolei; Chen, Jiecheng. Global solution of the 3D incompressible Navier–Stokes equations in the Besov spaces $\\dot{R}_{r_1,r_2,r_3}^{\\sigma,1}$. Z. Angew. Math. Phys. 68 (2017), no. 2, 68:30. (已打印)

(170117) Tran, Chuong V.; Yu, Xinwei. Note on Prodi-Serrin-Ladyzhenskaya type regularity criteria for the Navier-Stokes equations. J. Math. Phys. 58 (2017), no. 1, 011501, 10 pp. (已打印)

(170118) Chen, Qionglei; Miao, Changxing. Existence theorem and blow-up criterion of the strong solutions to the two-fluid MHD equation in $\\Bbb R^3$. J. Differential Equations 239 (2007), no. 1, 251--271. (已打印)

(170119) 春风绿江岸, 万里快行船. 大江流日夜, 奔梦天地宽. (坤宁)

(170120) 桃李春风一杯酒, 江湖夜雨十年灯. (黄庭坚)

(170121) 直道相思了无益, 未妨惆怅是清狂. (李商隐)

(170122) 他年我若为青帝, 报与桃花一处开. (黄巢)

(170123) 会意:家 $\\to$ 冢. 注意这一点的位置.

(170124) 好了歌: 世人都晓神仙好, 惟有功名忘不了! 古今将相在何方? 荒冢一堆草没了. 世人都晓神仙好, 只有金银忘不了! 终朝只恨聚无多, 及到多时眼闭了. 世人都晓神仙好, 只有娇妻忘不了! 君生日日说恩情, 君死又随人去了. 世人都晓神仙好, 只有儿孙忘不了! 痴心父母古来多, 孝顺儿孙谁见了? (曹雪芹《红楼梦》)

(170125) 设 $f$ 在 $(a,b)$ 上单增, 试证: 对 $\\forall\\ x\\in (a,b)$, $$\\bex f(x-0)=\\sup_{y<x}f(y),\\quad f(x+0)=\\inf_{y>x}f(y) \\eex$$ 存在.

(170126) 单调函数的不连续点集是可数集.

(170127) Liu Y, Zhang P. On the global well-posedness of 3-D axi-symmetric Navier-Stokes system with small swirl component[J]. arXiv preprint arXiv:1702.06279, 2017. (已打印)

(170128) 设 $X$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $X^2$ 到 $X$ 的双线性映射. 若 $$\\bex \\exists\\ 0<\\al<\\f{1}{4\\sen{f}},\\quad \\sen{f} =\\sup_{\\sen{u},\\sen{v}\\leq 1} \\sen{f(u,v)}, \\eex$$ 则 $$\\bex \\forall\\ a\\in B(0,\\al),\\ \\exists\\ |\\ x\\in B(0,2\\al),\\st x=a+f(x,x). \\eex$$ 

(170129) 试证: $$\\bex 2\\arctan x+\\arcsin \\f{2x}{1+x^2}=\\pi,\\quad x>1. \\eex$$ 

(170130) 试建立 $[0,1]$ 到 $(0,1)$ 之间的一一对应. 

(170131) 设 $u$ 为 $n$ 维欧氏空间 $\\bbR^5$ 中的单位向量, 定义 $T_u(x)=x-2\\sef{x,u}u$. 现设 $\\al,\\be$ 是 $\\bbR^5$ 中线性无关的两个单位向量, 问当 $\\al,\\be$ 满足什么条件时, 存在正整数 $k$ 使得 $(T_\\al T_\\be)^k$ 为单位映射. 

(170201) 在度量空间 $(X,\\rho)$ 中, 开球 $B(x,r)=\\sed{y\\in X;\\rho(y,x)<r}$ 的闭包一定是 $\\sed{y\\in X;\\rho(y,x)\\leq r}$ 么? 如果是, 请给出证明; 如果不是, 请举出反例.

(170202) 设 $f,g:\\bbR\\to \\bbR$ 均是连续的周期函数, 满足 $$\\bex \\vlm{x}[f(x)-g(x)]=0. \\eex$$ 试证: $f\\equiv g$. 

(170203) 设 $f:[0,\\infty)\\to \\bbR$ 一致连续, 满足 $$\\bex \\vlm{n}f(x+n)=0,\\quad\\forall\\ x\\geq 0. \\eex$$ 试证: $\\dps{\\vlm{x}f(x)=0}$. 

(170204) 设 $(X,\\rho)$ 是度量空间, $A$ 是 $X$ 的非空子集, 考虑 $$\\bex f(x)=\\dist(x,A)\\equiv \\inf_{y\\in A}\\rho(x,y),\\quad x\\in X. \\eex$$ 试证: $f$ 是 $X$ 上的一致连续函数. 

(170205) 不管工作生活给了我们多大的压力和烦恼, 都不要理会. 随它去吧. 能做好就做好, 能做的差不多就差不多, 不能做就不能做. 

(170206) 黑云去来意, 乌江败成齐. 我心素已闲, 安坐闹市席. (张祖锦《修》) 

(170207) 设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上可导, $\\dps{M=\\sup|f\'|}$. 若 $$\\bex \\exists\\ a\\in (0,1),\\st \\int_{-a}^a f(x)\\rd x=0, \\eex$$ 试证: $$\\bex \\sev{\\int_{-1}^1 f(x)\\rd x}\\leq M(1-a^2). \\eex$$

(170208) 设 $f$ 在 $[0,2]$ 上连续可导, 且 $f(0)=f(2)=1$. 若 $|f\'|\\leq 1$, 试证: $$\\bex 1\\leq \\int_0^2f(x)\\rd x\\leq 3. \\eex$$

(170209) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导数, 且 $f(0)=f(1)=f\'(0)=0$, $f\'(1)=1$. 试证: $$\\bex \\int_0^1 |f\'\'(x)|^2\\rd x\\geq 4, \\eex$$ 并指出不等式中等号成立的条件.

(170210) 对任意的 $a>0$, 试证: $$\\bex \\vsm{k}\\f{1}{k+a} \\sqrt{\\f{a}{k}}<\\pi. \\eex$$ 

(170211) 设 $a_1,a_2,\\cdots,a_n\\ (n\\geq 2)$ 都是正数, 且 $a_1+a_2+\\cdots+a_n<1$. 证明:  (1) $\\dps{\\f{1}{1-\\sum_{k=1}^n a_k} >\\prod_{k=1}^n (1+a_k)>1+\\sum_{k=1}^n a_k}$;  (2) $\\dps{\\f{1}{1+\\sum_{k=1}^n a_k} >\\prod_{k=1}^n (1-a_k)>1-\\sum_{k=1}^n a_k}$. 

(170212) 设 $a_1\\leq a_2\\leq \\cdots \\leq a_n$, 且 $b_1\\leq b_2\\leq \\cdots\\leq b_n$. 证明 Chebych\\"ev (切比雪夫, 1821~1894) 不等式: $$\\bex \\sum_{i=1}^n a_i \\sum_{i=1}^n b_i\\leq n\\sum_{i=1}^n a_ib_i. \\eex$$

(170213) 求极限 $\\dps{\\vlm{n}n\\sin (2\\pi n!\\e)}$.

(170214) 设常数 $a_1,a_2,\\cdots,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\\cdots+a_n=0$. 求证: $$\\bex \\vlmp{x}\\sum_{k=1}^na_k\\sin\\sqrt{x+k}=0. \\eex$$

(170215) 求极限 $\\dps{\\vlm{n}\\sin (\\pi\\sqrt{n^2+1})}$.

(170216) 设 $A$ 是数域 $\\bbF$ 上的 $n$ 阶对合阵, 即 $A^2=E_n$. 试证; $n-\\tr A$ 是偶数; 且 $\\tr A=n\\lra A=E_n$.

(170217) 设方阵 $$\\bex A=\\sexm{1&0&0&0\\\\0&a&a&0\\\\ a-2&0&1&0\\\\ 0&1&0&0} \\eex$$ 可对角化, 求 $a$ 的值.

(170218) 设 $A_1,\\cdots,A_n \\in M_n(\\bbF)$, $g(x) \\in \\bbF[x],$ 使得 $g(A_1),\\cdots,g(A_n)$ 都是非异阵. 证明: 存在$h(x) \\in \\bbF[x]$, 使得 $g(A_i)^{-1} = h(A_i)$ 对所有的 $1 \\le i \\le m$ 都成立.

(170219) [导数介值定理] 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 实数 $k$ 满足 $f\'(a)<k<f\'(b)$. 试证: $$\\bex \\exists\\ \\xi\\in(a,b),\\st f\'(\\xi)=k. \\eex$$

(170220) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶连续可微, 满足 $$\\bex |f(x)|\\leq A,\\quad |f\'\'(x)|\\leq B,\\quad \\forall\\ x\\in [a,b], \\eex$$ 并且 $$\\bex \\exists\\ x_0\\in [a,b],\\st |f\'(x_0)|\\leq D. \\eex$$ 试证: $$\\bex |f\'(x)|\\leq 2\\sqrt{AB}+D,\\quad\\forall\\ x\\in [a,b]. \\eex$$

(170221) [杨忠道定理] 拓扑空间中每个子集的导集都是闭集当且仅当每个单点集的导集是闭集.

(170222) 势利之交, 难以经远. 士之相知, 温不增华, 寒不改叶, 贯四时而不衰, 历夷险而益固. (诸葛亮)

(170223) 不要停止学习, 即便你很老很老, 也要对这个世界保持好奇; 学会感恩, 要相信所有的经历都是生命的馈赠.

(170224) 人生注定要迎来死亡, 但是我们也要认真地生活!

(170225) 希望失去贪, 嗔和怒.

(170226) 帝王可以借权势改几本史书, 却改变不了天下人的评价.

(170227) 等待延后满足.

(170228) 已知 $c^2-4ab\\neq 0$, 计算行列式 $$\\bex \\sevm{ c&a&&&\\\\ b&c&a&&\\\\ &\\ddots&\\ddots&\\ddots&\\\\ &&b&c&a\\\\ &&&b&c }. \\eex$$

(170301) 设矩阵 $A=(a_{ij})_{n\\times n}$, $B=(b_{ij})_{n\\times n}$, 定义 $C=(a_{ij}b_{ij})_{n\\times n}$. 证明: 若 $A,B$ 半正定, 则 $C$ 半正定.

(170302) 学生要体验 ``学而时习之\'\' 的快乐, 必须放弃手机拍照而手写. 老师要做到 ``温故而知新\'\', 也要少用PPT 而多板书.

(170303) 人世间最美好的礼物是来自陌生人的善意.

(170304) 在传统熟人社会, 决定人们关系的主要是血缘和地缘这种天然纽带; 但在计划经济体制下, 能帮你排除困难的人或能给你带制造困难的人, 才是你最重要的社会资源.

(170305) 礼尚往来, 来而不往非礼也. 注重的是礼节和礼数, 而非礼物的价值本身.

(170306) 很多时候, 我们本来是上网找一个东西, 结果看着看着, 看别的东西去了, 一个广告有兴趣, 点开来; 一个没见过的词, 查下; 等等. 结果半天后, 自己要找的东西还没开始弄了. 这就是知识的迷宫. 为此, 一定要有明确的目标, 摒弃一切杂念.

 

(170307) 年轻人不守时是永远迟到; 老年人不守时是永远早到.

(170308) 生活就是一种永恒的沉重的努力. (米兰.昆德拉)

(170309) 相遇和作别有很多种, 最棒的莫过于温暖一笑, 急人之难, 临去时挥一挥手, 道声再见.

(170310) A represented matroid is a pair $M=(E,U)$ consisting of a finite set $E$ together with a subspace $U$ of $\\bbF^E$. We say that a matrix $A$ generates a represented matroid $M=(E,U)$ if $U$ is the row-space of $A$; the represented matroid generated by $A$ is denoted $M(A)$. 不是很懂, 但是也可稍微翻译下: 一个可表示拟阵 $M=(E,U)$ 由一个有限集 $E$ 和 $\\bbF^E$ 的一个子空间构成. 我们说一个矩阵 $A$ 生成一个可表示拟阵 $M=(E,U)$ 如果 $U$ 是 $A$ 的行向量; 记 $A$ 生成的可表示拟阵为 $M(A)$. 理解: 首先, 要知道 $\\bbF^E$ 是指集合 $E$ 到数域 $\\bbF$ 的所有映射全体构成的集合, 也即 $$\\bex \\bbF^E=\\sed{f:E\\to \\bbF}. \\eex$$ (实变或拓扑我不太记得是否用过这个记号...). 其次, 数域 $\\bbF$ 上的 $m\\times n$ 矩阵 $A$ 如果写成行向量的形式 $$\\bex A=\\sexm{ \\al_1\\\\\\vdots\\\\\\al_m}, \\eex$$ 那么可选 $$\\bex E=\\sed{1,\\cdots,n},\\quad U=\\sed{\\al_1,\\cdots,\\al_m}, \\eex$$ 其中每个 $\\al_i$ 因为有 $n$ 个分量 $(a_{i1},\\cdots,a_{in})$, 而可看成 $E$ 到 $\\bbF$ 的映射 $$\\bex \\ba{cccc} \\al_i:&E&\\to&\\bbF\\\\ &j&\\mapsto&a_{ij}. \\ea \\eex$$ 这样, $\\al_i\\in \\bbF^E$, $U\\subset\\bbF^E$.

(170311) 试证: $$\\bex \\arctan a-\\arctan b>\\f{a-b}{\\sqrt{1+a^2}\\sqrt{1+b^2}},\\quad \\forall\\ a>b>0. \\eex$$

(170312) 设 $R$ 是集合 $X$ 上的等价关系; $p:X\\to X/R$ 是自然映射; 对 $i=1,2$, $p_i:X\\times X\\to X$ 是第 $i$ 个投射, 也即 $$\\bex p_1(x,y)=x,\\quad p_2(x,y)=y,\\ \\forall\\ (x,y)\\in X\\times X. \\eex$$ 试证: $$\\bex p^{-1}[p(A)]=p_2[p_1^{-1}(A)\\cap R],\\ \\forall\\ A\\subset X. \\eex$$ (170312解答)

(170313) [南京师范大学2010年常微分方程复试试题] 当 $a$ 取何值时, 边值问题 $$\\bex \\seddm{ y\'\'(x)+ay(x)=1\\\\ y(0)=y(1)=0 } \\eex$$ 没有解.

(170314) [南京师范大学2010年常微分方程复试试题] 设 $f(x)$ 是 $(a,+\\infty)$ 上的连续函数, 且 $$\\bex \\vlmp{x}f(x)=L, \\eex$$ $x_0>a$ 是一常数, $k$ 是一正常数. 求初值问题 $$\\bex \\seddm{ y\'+ky=f(x)\\\\ y(x_0)=y_0 } \\eex$$ 的解, 并计算该解当 $x\\to +\\infty$ 时的极限.

(170315) [熊金城点集拓扑习题1-3-03] 设 $X=\\sed{a,b,c}$, $Y=\\sed{d,e,f,g}$, $R=\\sed{(a,d),(a,e),(b,f)}$, $A=\\sed{a,c}$, $B=\\sed{d,e,g}$. 试求 $R(A)$, $R^{-1}(B)$, $R$ 的值域与定义域.

(170316) [熊金城点集拓扑习题1-4-04] 实数集合 $\\bbR$ 中第一个关系 $R$ 定义为 $$\\bex R=\\sed{(x,y)\\in\\bbR^2;\\ x-y\\in \\bbZ}. \\eex$$ 证明 $R$ 是一个等价关系.

(170317) [熊金城点集拓扑习题1-5-01] 设 $X,Y$ 是两个集合, $f: X\\to Y$. 试证: (1) 对于任意 $A\\subset X$, $$\\bex A\\subset f^{-1}(f(A)); \\eex$$ (2) 对于任意 $B\\subset Y$, $$\\bex B\\supset f(f^{-1}(B)), \\eex$$ (3) $f$ 是一个满射当且仅当 $$\\bex B= f(f^{-1}(B)) \\eex$$ 对于任何 $B\\subset Y$ 成立.

(170318) [熊金城点集拓扑习题1-7-02] 设 $A$ 是实数集合 $\\bbR$ 的一个子集, 她包含着某个非退化的开区间, 即存在 $a,b\\in\\bbR$, $a<b$, 使得 $A\\supset (a,b)$. 证明 $\\card A=\\aleph$.

(170319) 设 $A$ 为 $m\\times n$ 矩阵, $\\r(A)=k$, 证明: (1) 若 $A=A_1+A_2+\\cdots+A_l$, 且 $\\r(A_i)=1, i=1,2,\\cdots,l$, 则 $l\\geq k$; (2) 存在秩为 $1$ 的矩阵 $A_1,A_2,\\cdots,A_k$ 使得 $A=A_1+A_2+\\cdots+A_k$.

(170320) [熊金城点集拓扑习题2-1-01] 设 $\\si,\\si\':\\bbR\\times \\bbR\\to\\bbR$ 使得对任意 $x,y\\in\\bbR$, 有 $\\si(x,y)=(x-y)^2$ 和 $\\si\'(x,y)=|x^2-y^2|$. 证明 $\\si$ 和 $\\si\'$ 都不是 $\\bbR$ 的度量.

(170321) [熊金城点集拓扑习题2-2-10] 试证: (1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射.

(170322) [熊金城点集拓扑习题2-4-01] 求集合的导集和闭包: (1) 设 $A$ 是有限补空间 $X$ 中的一个无限子集, 求 $A$ 的导集和闭包; (2) 设 $A$ 是可数补空间 $X$ 中的一个不可数子集, 求 $A$ 的导集和闭包; (3) 求实数空间 $\\bbR$ 中的有理数集 $\\bbQ$ 的导集和闭包; (4) 设 $X^*$ 是 $\\S 2.2$ 习题 9 中定义的拓扑空间, 求单点集 $\\sed{\\infty}$ 的导集和闭包.

(170323) [熊金城点集拓扑习题2-5-02] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $A,B\\subset X$. 证明: (1) $A^-=A\\cup \\p A$, $A^o=A\\bs \\p A$; (2) $\\p (A^o)\\subset \\p A$, $\\p (A^-)\\subset \\p A$; (3) $\\p (A\\cup B)\\subset \\p A\\cup \\p B$, $(A\\cup B)^o\\supset A^o\\cup B^o$; (4) $\\p A=\\vno$ 当且仅当 $A$ 是一个既开又闭的集合; (5) $\\p(\\p A)\\subset \\p A$; (6) $A\\cap B\\cap \\p (A\\cap B)=A\\cap B\\cap (\\p A\\cup \\p B)$.

(170324) [熊金城点集拓扑习题2-6-07] 设 $X$ 是一个度量空间. 证明: 如果 $X$ 有一个基只含有有限个元素, 则 $X$ 必为含有有限多个点的离散空间.

(170325) [熊金城点集拓扑习题3-1-02] 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开 (闭) 子集, 则 $Y$ 作为 $X$ 的子空间时特别地被称为 $X$ 的开 (闭) 子空间. 证明: (1) 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开子空间, 则 $A\\subset Y$ 是 $Y$ 中的一个开集当且仅当 $A$ 是 $X$ 的一个开集; (2) 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个闭子空间, 则 $A\\subset Y$ 是 $Y$ 中的一个闭集当且仅当 $A$ 是 $X$ 的一个闭集.

(170326) [熊金城点集拓扑习题3-2-01] 设 $(X,\\rho)$ 是一个度量空间, 证明映射 $\\rho:X\\times X\\to \\bbR$ 是一个连续映射.

(170327) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续可微函数, 满足 $f(0)=f(1)=0$. 试证: $$\\bex \\sez{\\int_0^1 f(x)\\rd x}^2\\leq \\f{1}{12}\\int_0^1 |f\'(x)|^2\\rd x, \\eex$$ 且等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x)$, 其中 $A$ 是常数.

(170328) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $n$ 阶行列式 $$\\bex \\sev{\\ba{cccc} a_{11}&\\cdots&a_{1n}\\\\ \\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\ a_{n1}&\\cdots&a_{nn} \\ea}=1, \\eex$$ 且满足 $a_{ij}=-a_{ji},\\ i,j=1,2,\\cdots,n$. 对任意的 $x$, 求 $n$ 阶行列式 $$\\bex \\sev{\\ba{cccc} a_{11}+x&\\cdots&a_{1n}+x\\\\ \\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\ a_{n1}+x&\\cdots&a_{nn}+x \\ea}. \\eex$$

(170329) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $A$ 为 $s\\times n$ 矩阵. 证明: $$\\bex s-\\r(E_s-AA^t)=n-\\r(E_n-A^tA). \\eex$$

(170330) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $A$ 为对称矩阵, 存在线性无关的向量 $x_1,x_2$, 使得 $x_1^tAx_1>0$, $x_2^tAx_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 $x_3,x_4$ 使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 线性相关, 且 $x_3^tAx_3=x_4^tAx_4=0$.

(170331) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $\\sigma,\\tau$ 为线性变换, 且 $\\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值. 证明: 若 $\\sigma\\tau=\\tau\\sigma$, 则 $\\tau$ 可由 $I$, $\\sigma$, $\\sigma^2$, $\\cdots$, $\\sigma^{n-1}$ 线性表出, 其中 $I$ 为恒等变换.

(170401) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $f(x)$ 为 $A$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\\bex \\r [g(A)]=q,\\quad \\r [h(A)]=p. \\eex$$

(170402) [北京大学数学系数学分析习题集05-09] 设 $f(x)$ 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 上 $n$ 次可微, 且 $$\\bex |f(x)|\\leq M_0,\\quad |f^{(n)}(x)|\\leq M_n,\\quad (M_0,M_n\\mbox{ 为常数}). \\eex$$ 求证: (1) $f\'(x),\\cdots, f^{(n-1)}(x)$ 在 $(-\\infty,+\\infty)$ 上有界; (2) $|f^{(k)}(x)|\\leq 2^\\f{k(n-k)}{2} M_0^{1-\\f{k}{n}}M_n^\\f{k}{n},\\ (0\\leq k\\leq n)$.

(170403) 试求 \\[\\iint_{x^2+y^2\\leq R^2}\\e^x\\cos y\\rd x\\rd y.\\]

(170404) [熊金城点集拓扑习题3-3-05] 设 $X, Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\\to Y$ 是商映射. 令 $R=\\sed{(x,y)\\in X^2; f(x)=f(y)}$. 试证: (1) $R$ 是 $X$ 中的一个等价关系; (2) $Y$ 同胚于商空间 $X/R$.

(170405) [熊金城点集拓扑习题4-1-01] 设 $A$ 和 $B$ 是拓扑空间 $X$ 的隔离子集, 证明: 如果 $A_1\\subset A$, $B_1\\subset B$, 则 $A_1$ 和 $B_1$ 也是隔离子集.

(170406) [熊金城点集拓扑习题4-3-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $x,y\\in X$ 是连通的. 证明: 如果 $E$ 是一个既开又闭的子集, 则或者 $x,y\\in E$ 或者 $x,y\\not\\in E$. (此命题的逆命题不成立, 见下题.)

(170407) [熊金城点集拓扑习题4-4-02] 证明: 任何一个有限补空间和任何一个可数补空间都是局部连通空间.

(170408) [熊金城点集拓扑习题4-5-01] 设 $A\\subset \\bbR$, 试证: $A$ 是连通的 $\\lra A$ 是道路连通的.

(170409) [熊金城点集拓扑习题5-1-06] 设 $X$ 是一个满足第一可数性公理的空间, $A\\subset X$. 证明 $A$ 是一个开子集当且仅当对于 $X$ 中的任何一个序列 $\\sed{x_i}$, 只要 $\\dps{\\vlm{i}x_i=x\\in A}$, 则存在 $N>0$ 使得当 $i\\geq N$ 时有 $x_i\\in A$.

(170410) [熊金城点集拓扑习题5-2-04] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\\to Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个可分空间, 则 $f(X)$ 也是可分的. (这说明可分性是一个连续映射所保持的性质, 并且由此可见, 它是一个拓扑不变性质, 可商性质.)

(170411) [熊金城点集拓扑习题5-3-01] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\\to Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个 Lindeloff 空间, 则 $f(X)$ 也是一个 Lindeloff 空间.

(170412) [熊金城点集拓扑习题6-1-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_0$ 空间当且仅当对于任何 $x,y\\in X$, $x\\neq y$, 或者 $\\sed{x}\\cap \\overline{\\sed{y}}=\\vno$ 或者 $\\sed{y}\\cap \\overline {\\sed{x}}=\\vno$.

(170413) [熊金城点集拓扑习题6-1-05] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_1$ 空间当且仅当对于任何 $x\\in X$, 点 $x$ 的所有邻域的交恰是单点集 $\\sed{x}$.

(170414) [熊金城点集拓扑习题7-1-10] 设 $U$ 是拓扑空间 $X$ 中的一个开集. 证明: 如果 $X$ 中的一个由紧致闭集构成的集族 $\\scrB$ 满足条件 $\\bigcap_{B\\in \\scrB}B\\subset U$, 则存在 $\\scrB$ 的一个有限子族 $\\sed{B_1,B_2,\\cdots,B_n}$ 满足条件 $$\\bex B_1\\cap \\cdots \\cap B_n\\subset U. \\eex$$

(170415) [熊金城点集拓扑习题7-2-01] 设 $X$ 是一个 Hausdorff 空间, $\\scrA$ 是它的一个非空集族, 且由 $X$ 的紧致子集构成. 证明: $\\dps{\\bigcap_{A\\in\\scrA}A}$ 是 $X$ 的一个紧致子集.

(170416) 如果 $$\\bex \\sen{\\n^2 u_n}_{L^\\infty(0,T;L^2(\\Om))}\\leq C, \\eex$$ 则 $$\\bex \\sen{\\n^2 u_n}_{L^2(\\Om\\times (0,T))}\\leq C, \\eex$$ 而有子列弱收敛 $$\\bex \\n^2u_{n_k}\\rightharpoonup \\n^2u,\\mbox{ in }L^2(\\Om\\times (0,T)). \\eex$$

(170417) 设 $A,B$ 都是实反对称矩阵, 且 $A$ 可逆, 则 $|A^2-B|>0$.

(170418) 设 $ X , Y $ 分别为 $m\\times n$ 与 $n\\times m$ 阵, 且 $$\\bex Y X = E _n,\\quad A = E _m+ X Y . \\eex$$ 证明: $ A $ 相似于对角阵.

(170419) 设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0\\in [a,b)$, 而点列 $\\sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $\\dps{\\vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $\\dps{\\vlm{n}f(x_n)}$ 存在.

(170420) 设 $ A $ 为 $n$ 阶正定矩阵, $ x $, $ y $ 为 $n$ 维列向量且满足 $ x ^t y >0$. 试证: 矩阵 $$\\bex M= A +\\frac{ x x ^t}{ x ^t y } -\\frac{ A y y ^t A }{ y ^t A y } \\eex$$ 正定.

(170421) $$\\beex \\bea \\int \\lap f|f|^{q-2}f\\rd x &=-\\int \\n f\\cdot \\sez{(q-2)|f|^{q-3}\\frac{f}{|f|}\\n f\\cdot f +|f|^{q-2}\\n f}\\rd x\\\\ &=-\\int (q-2)|f|^{q-4}|f|^2|\\n f|^2 +|f|^{q-2}|\\n f|\\rd x\\\\ &=-(q-1)\\int |f|^{q-2}|\\n f|^2\\rd x\\\\ &=-(q-1)\\int |f|^{q-2}|\\n |f||^2\\rd x\\quad\\sex{\\n|f|=\\frac{f}{|f|}\\n f}\\\\ &=-(q-1)\\int | |f|^{\\frac{q}{2}-1}\\n |f| |^2\\rd x\\\\ &=-\\frac{4(q-1)}{q^2} \\int| \\n |f|^{\\frac{q}{2}} |^2\\rd x. \\eea \\eeex$$

(170422) 已知函数 $f(x)=\\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>\\e^2$.

(170423) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $\\dps{f(1)=3\\int_0^{1/3} \\e^{x-1}f(x)\\rd x}$, 证明: 存在 $\\xi\\in (0,1)$, 使得 $f(\\xi)+f\'(\\xi)=0$.

(170424) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续正函数, 且 $\\dps{f^2(t)\\leq 1+2\\int_0^t f(s)\\rd s}$. 证明: $f(t)\\leq 1+t$.

(170425) For $2<q<\\infty$, $$\\beex \\bea -\\int \\lap \\bbu \\cdot |\\bbu|^{q-2}\\bbu &=\\int \\p_iu_j \\p_i\\sex{|\\bbu|^{q-2}u_j}\\\\ &=\\int \\p_iu_j \\p_i|\\bbu|^{q-2}u_j+\\int \\p_iu_j|\\bbu|^{q-2}\\p_iu_j\\\\ &=\\frac{1}{2}\\int \\p_i|\\bbu|^2\\cdot \\p_i|\\bbu|^{q-2} +\\int |\\bbu|^{q-2}|\\n\\bbu|^2\\\\ &=\\frac{q-2}{2}\\int |\\bbu|\\p_i|\\bbu|\\cdot |\\bbu|^{q-3}\\p_i|\\bbu| +\\int |\\bbu|^{q-2}|\\n\\bbu|^2\\\\ &=\\frac{q-2}{2}\\int |\\bbu|^{q-2}|\\n|\\bbu||^2 +\\int|\\bbu|^{q-2}|\\n\\bbu|^2\\\\ &=\\frac{2(q-2)}{q^2}\\int ||\\bbu|^{\\frac{q}{2}-1}|^2 +\\int |\\bbu|^{q-2}|\\n\\bbu|^2;\\\\ \\frac{\\rd}{\\rd t}|\\bbu|^q &=\\frac{\\rd}{\\rd t}(|\\bbu|^2)^\\frac{q}{2}\\\\ &=\\frac{q}{2}(|\\bbu|^2)^{\\frac{q}{2}-1}\\cdot 2\\bbu\\frac{\\rd \\bbu}{\\rd t}\\\\ &=q|\\bbu|^{q-2} \\bbu \\cdot \\frac{\\rd \\bbu}{\\rd t}. \\eea \\eeex$$

(170426) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$\\bex \\int_0^1 f(x)\\rd x=1,\\quad \\int_0^1 xf(x)\\rd x=a,\\quad \\int_0^1 x^2f(x)\\rd x=a^2 \\eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.

(170427) 设 $f\\in C^2[0,\\pi]$, 且 $f(\\pi)=2$, $\\dps{\\int_0^\\pi [f(x)+f\'\'(x)]\\sin x\\rd x=5}$. 求 $f(0)$.

(170428) 设 $f\\in C(-\\infty,+\\infty)$, 定义 $\\dps{F(x)=\\int_a^b f(x+t)\\cos t\\rd t}$, $a\\leq x\\leq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F\'\'(x)$.

(170429) 设 $n\\in\\bbN^+$, 计算积分 $\\dps{\\int_0^{\\pi/2} \\frac{\\sin nx}{\\sin x}\\rd x}.$

(170430) 令 $\\dps{B(m,n)=\\sum_{k=0}^n C_n^k \\frac{(-1)^k}{m+k+1}}$, $m,n\\in\\bbN^+$. (1) 证明 $B(m,n)=B(n,m)$; (2) 计算 $B(m,n)$.

(170501) 证明: 当 $m<2$ 时, $\\dps{\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{1}{x^m}\\int_0^x \\sin \\frac{1}{t}\\rd t=0}$.

 

(170502) 证明: 当 $\\lm<1$ 时, $\\dps{\\lim_{R\\to+\\infty} R^\\lm\\int_0^{\\pi/2} e^{-R\\sin\\tt}\\rd \\tt=0}$.  

(170503) 计算以下渐近等式 $$\\bex \\int_0^1 \\frac{x^{n-1}}{1+x}\\rd x=\\frac{a}{n}+\\frac{b}{n^2}+o\\sex{\\frac{1}{n^2}}\\quad(n\\to\\infty) \\eex$$ 中的待定常数 $a,b$.

(170504) 设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\\in (a,b)$, 使 $$\\bex f^p(x_p)=\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f^p(t)\\rd t. \\eex$$ 试求 $\\dps{\\vlm{p}x_p}$.

 

(170505) 设 $f\\in C[0,+\\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\\bex \\vlm{x}\\sez{f(x)+a\\int_0^x f(t)\\rd t}. \\eex$$ 证明; $f(+\\infty)=0$.

(170506) $$\\bex \\sum_{|\\al|\\leq m}\\sen{D^\\al (fg)-(D^\\al f)g}_{L^2} \\leq C\\sex{\\sen{f}_{L^\\infty}\\sen{g}_{H^m}+\\sen{f}_{H^{m-1}}\\sen{\\n g}_{L^\\infty}}. \\eex$$ 

 

(170507) Assume that $a$ is a positive constant, $x(t),y(t)$ are two nonnegative $C^1(\\bbR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$\\bex \\frac{\\rd}{\\rd t} (x^2+y^2)+D \\leq a(x^2+y^2+x+y)D. \\eex$$ If additionally, the initial data satisfy $$\\bex x^2(0)+y^2(0)+\\sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<\\frac{1}{a}, \\eex$$ then, for any $t>0$, one has $$\\bex x^2(t)+y^2(t)+x(t)+y(t)<x^2(0)+y^2(0)+\\sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<\\frac{1}{a}. \\eex$$    

(170508) For $f\\in H^s(\\bbR^3)$ with $s>\\frac{3}{2}$, we have $$\\bex \\sen{f}_{L^\\infty}\\leq C\\sex{1+\\sen{f}_{\\dot B^0_{\\infty,\\infty}}}\\ln \\sex{1+\\sen{f}_{H^s}},\\quad s>\\frac{3}{2}. \\eex$$

(170509) $$\\bex (\\n\\times\\bbb)\\times\\bbb=-\\n\\frac{|\\bbb|^2}{2}+(\\bbb\\cdot\\n)\\bbb. \\eex$$    

(170510) 设 $x\\neq 0$, 矩阵  $$\\bex  A=\\sexm{  1&\\frac{x}{n}\\\\  -\\frac{x}{n}&1}.  \\eex$$  计算 $\\dps{\\lim_{x\\to 0}\\vlm{n}(A^n-E)}$.     

(170511) 设 $f(x)=x^2\\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$.    

(170512) 证明不等式: $$\\bex 1+x\\ln\\sex{x+\\sqrt{1+x^2}}>\\sqrt{1+x^2},\\quad x>0. \\eex$$    

(170513) 设数列 $\\sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<\\pi$, $x_{n+1}=\\sin x_n\\ (n=1,2,\\cdots)$.  (1) 证明 $\\dps{\\vlm{n}x_n}$ 存在, 并求其极限;  (2) 计算 $\\dps{\\vlm{n}\\sex{\\frac{x_{n+1}}{x_n}}^{\\frac{1}{x_n^2}}}$;  (3) 证明 $\\dps{\\vlm{n}\\sqrt{\\frac{n}{3}}x_n=1}$.    

(170514) 设 $f(x)$ 在 $\\bbR$ 上连续, 又 $$\\bex \\phi(x)=f(x)\\int_0^x f(t)\\rd t \\eex$$ 单调递减. 证明: $f\\equiv 0$.    

(170515) 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 其正负惯性指数分别是 $p,q$. 再设  $$\\bex  f(x)=x^tAx,\\quad N_f=\\sed{x\\in\\bbR^n;f(x)=0}.  \\eex$$   证明:   (1) 包含于 $N_f$ 的线性空间的维数至多是 $n-\\max\\sed{p,q}$;   (2) 若 $W$ 是 $\\bbR^n$ 的一个线性子空间, 将二次型限定在 $W$ 中得到正负惯性指数分别是 $p_1,q_1$, 则有 $p_1\\leq p$, $q_1\\leq q$.

(170516) 在 [Yosida, Kōsaku. Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995] 第 126-127 页给出了一致凸 Banach 空间的定义: 若 Banach 空间 $X$ 满足 $$\\bex \\forall\\ \\ve>0,\\ \\exists\\ \\del=\\del(\\ve)>0,\\st \\\\ \\sen{x}\\leq 1,\\ \\sen{y}\\leq 1,\\ \\sen{x-y}\\geq \\ve\\ra \\sen{x+y}\\leq 2(1-\\del). \\eex$$ 则称 $X$ 是一致凸的 Banach 空间. 试证: 若 $\\sed{x_n},\\sed{y_n}\\subset X$ 满足 $$\\bex \\vlm{n}\\sen{x_n}=\\vlm{n}\\sen{y_n}=1,\\quad \\sen{x_n-y_n}\\geq \\ve\'>0, \\eex$$ 则 $$\\bex \\vls{n}\\sen{x_n+y_n}<2. \\eex$$

(170517) 设 $V$ 是有理数域 $\\bbQ$ 上的三维线性空间, $\\scrA:\\ V\\to V$ 是一个线性变换. 已知 $\\al_1,\\al_2,\\al_3\\in V\\ (\\al_1\\neq 0)$ 满足 $$\\bex \\scrA\\al_1=\\al_2,\\quad \\scrA\\al_2=\\al_3,\\quad \\scrA\\al_3=\\al_1+\\al_2. \\eex$$ 证明: 向量组 $\\al_1,\\al_2,\\al_3$ 是 $V$ 的一组基.  

(170518) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $f\\sex{\\frac{1}{2}}=1$. 证明: 对于任意的实数 $\\lm$, 一定存在 $\\xi\\in (0,1)$, 使得 $$\\bex f\'(\\xi)-\\lm f(\\xi)+\\lm f(\\xi)=1. \\eex$$

(170519) 函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $\\al\\in (0,1)$, $$\\bex \\int_0^\\al f(x)\\rd x\\geq \\al \\int_0^1 f(x)\\rd x. \\eex$$ 

 

 

(170520) 设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n$, 级数 $\\dps{\\vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $\\dps{\\vsm{n}\\frac{a_n}{S_n}}$ 发散.  

 

 

(170521) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\\bex \\int_a^b f^2(x)\\rd x\\leq \\frac{(b-a)^2}{2}\\int_a^b [f\'(x)]^2\\rd x -\\frac{1}{2}\\int_a^b [f\'(x)]^2 (x-a)^2\\rd x. \\eex$$ 

 

 

(170522) 设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $\\dps{\\max_{0\\leq x\\leq 1}f(x)=2}$. 证明: $$\\bex \\min_{0\\leq x\\leq 1}f\'\'(x)\\leq -16. \\eex$$

 

 

(170523) 试证: $$\\int^\\infty_0 \\frac{\\rd u}{1+u^4}=\\frac{\\pi}{2\\sqrt{2}}.$$

 

 

(170524) 设 $A$ 是 $n$ 阶 Hermite 矩阵, 即 $A^*\\equiv \\bar A^T=A$. 试证: (1) $\\al^*A\\al\\in\\bbR$, $\\forall\\ \\al\\in\\bbC^n$; (2) $A$ 的特征值均为实数; (3) $\\sen{(A\\pm \\i E)\\al}^2 =\\sen{A\\al}^2+\\sen{\\al}^2,\\ \\forall\\ \\al\\in\\bbC^n$; (4) $A\\pm \\i E$ 可逆; (5) $B=(A-\\i E)(A+\\i E)^{-1}$ 是酉矩阵, 即 $B^*B=BB^*$; (6) $E-B$ 可逆; (7) $A=\\i (E+B)(E-B)^{-1}$.

 

 

(170525) 设 $B$ 是 $n$ 阶酉矩阵, 满足 $\\r(E-B)=n$. 试证: 存在唯一的 $n$ 阶 Hermite 矩阵 $A$ 使得 $(A-\\i E)(A+\\i E)^{-1}=B$.

 

 

(170526) 试证: $$\\bex \\f{x^\\f{1}{\\ln 2}\\ln \\sex{1+\\f{1}{x}}}{\\ln (1+x)}>1,\\quad x>1. \\eex$$

 

 

(170527) 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 满足 $$\\bex \\bar D^+f(x)=\\varlimsup_{y\\to x^+}\\f{f(y)-f(x)}{y-x}\\geq 0,\\ a\\leq x\\leq b. \\eex$$ 试证: $f(a)\\leq f(b)$.

 

 

(170528) 在实数空间 $\\bbR$ 中给定如下等价关系: $$\\bex x\\sim y\\lra x,y\\in (-\\infty,1)\\mbox{ 或者 } x,y\\in [1,2)\\mbox{ 或者 }x,y\\in [2,+\\infty). \\eex$$ 设在这个等价关系下得到的商集 $Y=\\sed{[-2],[1],[2]}$, 试写出 $Y$ 的商拓扑.

 

 

(170529) 域 $\\bbF$ 上的矩阵 $A$ 称为幂等矩阵, 如果 $A^2=A$. 试证: 若 $A$ 幂等, 则 $A$ 可对角化, 且 $\\r (A)=\\tr (A)$.

 

 

(170530) [兰州大学2013高代] 设 $\\bbF$ 是一个数域, $V=\\bbF^{n\\times n}$ 是 $\\bbF$ 上所有 $n$ 级矩阵构成的 $\\bbF$ 上的线性空间, $f$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: 若 $f$ 保持矩阵的乘法运算, 即对任意 $A,B\\in V$, $$\\bex f(AB)=f(A)\\cdot f(B). \\eex$$ 则存在 $n$ 级可逆矩阵 $Q$ 使得对任意 $X\\in V$, 有 $f(X)=Q^{-1}XQ$.

 

 

(170531) $$\\bex \\n\\times(\\bba\\times\\bbb)=(\\bbb\\cdot\\n)\\bba -(\\bba\\cdot\\n)\\bbb+\\bba(\\n\\cdot\\bbb)-\\bbb(\\n\\cdot\\bba). \\eex$$ see [李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程 (第二版) 上册, 北京: 高等教育出版社, 2005 年] 第 163 页. 

 

 

(170601) $$\\bex 0<p<\\infty\\ra H_p=\\dot F^0_{p,2};\\quad BMO=\\dot F^0_{\\infty,2}. \\eex$$ see [H. Triebel, Theory of function spaces I, Birkh\\"auser, Basel, 1983] Page 244.

 

 

(170602) $$\\bex \\n\\cdot\\bbb=0\\ra \\n\\times [(\\n\\times \\bbb)\\times \\bbb]=\\n\\times [\\n\\cdot (\\bbb\\otimes \\bbb)]. \\eex$$

 

 

(170603) $$\\bex \\dot B^0_{\\infty,2}\\subsetneq BMO. \\eex$$ see [T. Ogawa, Sharp Sobolev inequality of logarithmic type and the limiting regularity criterion to the harmonic heat flow, SIAM J. Math. Anal., 34 (2003), 1318--1330], [J. Bergh, J. L\\"ofstr\\"om, Interpolation spaces: an introduction, Grundlehren Math. Wiss. 223, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 1976] or [R.S. Strichartz, Bounded mean oscillation and Sobolev sapces, Indiana Univ. Math. J., 29 (1980), 539--558].

 

 

(170604) 设 $f\\in L(\\bbR)$, 试证: $$\\bex \\vsm{n}f(n^2x) \\eex$$ 在 $\\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.

 

 

(170605) Let $$\\beex \\bea \\lm,\\mu\\in\\bbR,\\quad 1\\leq p,q\\leq r\\leq \\infty,\\quad 0<\\tt<1,\\\\ -\\lm+\\frac{n}{p}<\\frac{n}{r}<-\\mu+\\frac{n}{q},\\\\ \\frac{n}{r}=(1-\\tt)\\sex{-\\lm+\\frac{n}{p}} +\\tt\\sex{-\\mu+\\frac{n}{q}}. \\eea \\eeex$$ Then $$\\bex \\sen{f}_{\\dot B^0_{r,1}}\\leq \\sen{f}_{\\dot B^\\lm_{p,\\infty}}^{1-\\tt} \\sen{f}_{\\dot B^\\mu_{q,\\infty}}^\\tt. \\eex$$ see [S. Machihara, T. Ozawa, Interpolation inequalities in Besov spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 131 (2002), 1553--1556].

 

 

(170606) 设 $\\mathbb{F}$ 为数域, 如果 $p_1(x),\\cdots,p_r(x)$ 是数域 $\\mathbb{F}$ 上的 $r$ 个两两不同的首相系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)\\cdots p_r(x)$ 在数域 $\\mathbb{F}$ 上无重根.

 

 

(170607) 设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \\eex$$ 设 $\\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\\bex \\scrA(f(x))=r(x). \\eex$$ 试证: $\\scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $\\sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵. 170608) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $\\forall\\ x\\in [a,b]$, 存在 $\\xi\\in (a,b)$, 使得 $$\\bex f(x)=\\frac{f\'\'(\\xi)}{2}(x-a)(x-b). \\eex$$

 

 

(170609) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $c\\in (a,b)$, 存在 $\\xi\\in (a,b)$ 使得 $$\\bex \\frac{f\'\'(\\xi)}{2}=\\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. \\eex$$

 

 

(170610) 设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $x\\in (0,c)$ 时, $f\'\'(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$\\bex f(a+b)<f(a)+f(b). \\eex$$

 

 

(170611) 试证: $$\\bex (1+a)\\ln (1+a)+(1+b)\\ln (1+b)<(1+a+b)\\ln (1+a+b),\\quad \\forall\\ a,b>0. \\eex$$

 

 

(170612) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)<f(b)$, 又设对一切 $x\\in (a,b)$, $\\dps{\\vlmc{t}{0}\\f{f(x+t)-f(x-t)}{t}}$ 存在, 用 $g(x)$ 表示这一极限值. 试证: 存在 $c\\in (a,b)$, 使得 $g(c)\\geq 0$. (南开大学) (注意题目未假定导数存在)

 

 

(170613) 试证: $$\\bex g(n,i)\\equiv \\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k k^i=\\seddm{ 0,&0\\leq i\\leq n-1\\\\ (-1)^n n!,&i=n },\\ n=1,2,\\cdots. \\eex$$

 

 

(170614) [南京大学2013数分] 设 $f$ 是 $\\bbR$ 上周期为 $1$ 的 $C^1$ 函数. 如果 $f$ 满足以下条件: $$\\bex f(x)+f\\sex{x+\\f{1}{2}}=f(2x),\\quad \\forall\\ x\\in\\bbR. \\eex$$ 证明: $f$ 恒等于零.

 

 

(170615) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,\\infty)$ 连续, 且当 $t\\to+\\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\\lm<0$, 证明: 当 $t\\to\\infty$ 时, $$\\bex \\int_t^\\infty p(\\tau)e^{\\lm \\tau}\\rd \\tau=o(t^{N+1})e^{\\lm t}. \\eex$$ (北京师范大学)

 

 

(170616) 设 $f\\in C^{n+1}(\\bbR)$, 试证: 对 $\\forall\\ a\\in\\bbR$, $$\\bex \\frac{\\rd^n}{\\rd x^n}\\sez{\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \\eex$$

 

 

(170617) 试计算矩阵 $A=(\\sin(\\al_i+\\al_j))_{n\\times n}$ ($n\\geq2$) 的行列式.

 

 

(170618) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f\'(a)=f\'(b)$, 试证: $$\\bex \\exists\\ \\xi\\in (a,b),\\st f\'(\\xi)(\\xi-a)=f(\\xi)-f(a). \\eex$$

 

 

(170619) 设 $H^{-1}$ 是 $H^1_0$ 的对偶空间, 定义域为 $[0,1]$. 试证: (1) $\\sed{h\\sin (2\\pi hx);\\ h>0}$ 在 $H^{-1}$ 中有界; (2) 试求 $h\\sin (2\\pi hx)$ 在 $H^{-1}$ 中的弱极限.

 

 

(170620) 已知二次型 $$\\bex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz \\eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$\\bex f(x,y,z)=4 \\eex$$ 表示什么曲面?

 

 

(170621) 试求 $$\\bex \\vlm{n}n^2\\sex{x^\\frac{1}{n}-x^\\frac{1}{n+1}},\\quad x>0. \\eex$$

 

 

(170622) 无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?

 

 

(170623) 设立体 $\\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-\\sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $\\vSa$ 的体积与表面积.

 

 

(170624) 对任两酉阵 $U,V$, 有 $$\\bex \\sen{A}_F=\\sen{UAV}_F. \\eex$$ 事实上, $$\\beex \\bea \\sen{UAV}_F^2&=\\tr(V^*A^*U^*\\cdot UAV)\\\\ &=\\tr (V^*A^*AV)\\\\ &=\\tr(AVV^*A^*)\\quad\\sex{\\tr(AB)=\\tr(BA)}\\\\ &=\\tr(AA^*)\\\\ &=\\tr(A^*A)\\\\ &=\\sen{A}_F^2. \\eea \\eeex$$

 

 

(170625) 设 $D$ 是 $\\bbR^3$ 中的有界闭区域, $f$ 在 $D$ 上连续且有偏导数. 如果在 $D$ 上有 $$\\bex f_x+f_y+f_z=f,\\quad f|_{\\p D}=0\\ \\sex{\\p D\\mbox{ 记 }D\\mbox{ 的边界}}. \\eex$$ 则 $f$ 在 $D$ 上恒等于 $0$. (solution)

 

 

(170626) [中国科学技术大学2013年数分] 设 $$\\bex \\vec{F}=\\sex{a-\\f{1}{y}+\\f{y}{z}, \\f{x}{z}+\\f{bx}{y^2},-\\f{cxy}{z^2}}, \\eex$$ 其中 $a,b,c$ 是三个常数. (i) 问 $a,b,c$ 取何值时, $\\vec{F}$ 为有势场. (ii) 当 $\\vec{F}$ 为有势场时, 求出它的势函数. (solution)

 

 

(170627) 设 $f$ 是从区间 $[0,1]$ 映到 $[0,1]$ 的函数, 其图像 $\\sed{(x,f(x));\\ x\\in [0,1]}$ 是单位正方形 $[0,1]\\times [0,1]$ 的闭子集. 证明: $f$ 是连续函数. (solution)

 

 

(170628) 求 $\\dps{\\vlm{n}\\sqrt[n]{1+2^n\\sin^nx}}$. (内蒙古大学)  (solution)

 

 

(170629) 设矩阵 $A=(\\al_1,\\cdots,\\al_n)$ 通过初等行变换化为 $\\dps{\\sexm{E_r&b\\\\ 0&0}}$, 则 $A$ 的秩为 $r$, 且 $\\al_1,\\cdots,\\al_r$ 为 $A$ 的列向量组的一个极大无关组, $(\\al_{r+1},\\cdots,\\al_n)=(\\al_1,\\cdots,\\al_r)b$. (solution)

 

 

(170630) 梁济自杀前问儿子梁漱溟：这个世界会好吗？(solution)