bzoj 1914: [Usaco2010 OPen]Triangle Counting 数三角形——极角排序

Posted 2020-10-08 友人A

Description

在一只大灰狼偷偷潜入Farmer Don的牛群被群牛发现后，贝西现在不得不履行着她站岗的职责。从她的守卫塔向下瞭望简直就是一件烦透了的事情。她决定做一些开发智力的小练习，防止她睡着了。想象牧场是一个X，Y平面的网格。她将N只奶牛标记为1…N (1 <= N <= 100,000)，每只奶牛的坐标为X_i,Y_i (-100,000 <= X_i <= 100,000;-100,000 <= Y_i <= 100,000; 1 <= i <=N)。然后她脑海里想象着所有可能由奶牛构成的三角形。如果一个三角形完全包含了原点(0,0)，那么她称这个三角形为“黄金三角形”。原点不会落在任何一对奶牛的连线上。另外，不会有奶牛在原点。给出奶牛的坐标，计算出有多少个“黄金三角形”。顺便解释一下样例，考虑五只牛，坐标分别为(-5,0), (0,2), (11,2), (-11,-6), (11,-5)。下图是由贝西视角所绘出的图示。 

Input

第一行:一个整数: N 第2到第N+1行: 每行两个整数X_i，Y_i，表示每只牛的坐标

Output

* 第一行: 一行包括一个整数，表示“黄金三角形的数量”

Sample Input

5
-5 0
0 2
11 2
-11 -6
11 -5

Sample Output

5

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这道题我们发现直接求黄金三角形就很难求 那么正难取反 我们可以用总的减去不符合的

那么我们考虑某一个点 那么我们从原点向这个点连一条直线 

这样之后我们从这条线的左边或者右边选点 选出来的点一定是不包含原点的

我们单独考虑一个三角形（不包含原点类的）从原点向三个端点连线

观察发现 有一条是经过这个三角形 一条三角形在这条线的顺时针方向 一条三角形在这条线的逆时针方向

所以我们单独考虑一个方向就不会算重了 第一次接触极角排序 我们按顺时针的方向排序 从第一象限开始跑

求一下顺时针方向180有多少个点 有一个结论 当前点 x1 x2 和他顺时针180的一个点 x2 y2 

那么 y2*x1<y1*x2 这个可以利用差积证明 或者直接分类证明咯 然后就可以写辣233

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using std::sort;
const int M=2e5+7,inf=0x3f3f3f3f;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){ans=ans*10+(c-‘0‘); c=getchar();}
    return ans*f;
}
int n;
struct pos{int x,y,wh; double k;}q[M];
bool cmp(pos a,pos b){return a.wh!=b.wh?a.wh<b.wh:a.k>b.k;}
int main(){
    int x,y;
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        x=read(); y=read();
        q[i].x=x; q[i].y=y;
        if(x) q[i].k=1.0*y/x; else q[i].k=-inf;
        if(x>0&&y>=0) q[i].wh=1;
        else if(x>=0&&y<0) q[i].wh=2;
        else if(x<0&&y<=0) q[i].wh=3;
        else q[i].wh=4;
    }
    LL ans=1LL*n*(n-1)*(n-2)/6;
    sort(q+1,q+1+n,cmp);
    LL sum=1,ly=2;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum--;
        while(1LL*q[ly].y*q[i].x<1LL*q[i].y*q[ly].x){
            ly++; sum++;
            if(ly>n) ly-=n;
        }
        ans=ans-sum*(sum-1)/2;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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