polynomial time

Posted 2020-10-08 rsapaper

 

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Time_complexity#Polynomial_time

 

An algorithm is said to be of polynomial time if its running time is upper bounded by a polynomial expression in the size of the input for the algorithm, i.e., T(n) = O(n^k) for some constant k.^[1][8] Problems for which a deterministic polynomial time algorithm exists belong to the complexity class P, which is central in the field of computational complexity theory. Cobham\'s thesis states that polynomial time is a synonym for "tractable", "feasible", "efficient", or "fast".^[9]

Some examples of polynomial time algorithms:

• The selection sort sorting algorithm on n integers performs {\\displaystyle An^{2}} operations for some constant A. Thus it runs in time {\\displaystyle O(n^{2})} and is a polynomial time algorithm.
• All the basic arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division, and comparison) can be done in polynomial time.
• Maximum matchings in graphs can be found in polynomial time.

 

Complexity classes[edit]

The concept of polynomial time leads to several complexity classes in computational complexity theory. Some important classes defined using polynomial time are the following.

• P: The complexity class of decision problems that can be solved on a deterministic Turing machine in polynomial time.
• NP: The complexity class of decision problems that can be solved on a non-deterministic Turing machine in polynomial time.
• ZPP: The complexity class of decision problems that can be solved with zero error on a probabilistic Turing machine in polynomial time.
• RP: The complexity class of decision problems that can be solved with 1-sided error on a probabilistic Turing machine in polynomial time.
• BPP: The complexity class of decision problems that can be solved with 2-sided error on a probabilistic Turing machine in polynomial time.
• BQP: The complexity class of decision problems that can be solved with 2-sided error on a quantum Turing machine in polynomial time.

P is the smallest time-complexity class on a deterministic machine which is robust in terms of machine model changes. (For example, a change from a single-tape Turing machine to a multi-tape machine can lead to a quadratic speedup, but any algorithm that runs in polynomial time under one model also does so on the other.) Any given abstract machinewill have a complexity class corresponding to the problems which can be solved in polynomial time on that machine.

 

 

复杂度类[编辑]

从多项式时间的概念出发，在计算复杂度理论中可以得到一些复杂度类。以下是一些重要的例子。

• P：包含可以使用确定型图灵机在多项式时间内解决的决定性问题。
• NP：包含可以使用非确定型图灵机在多项式时间内解决的决定性问题。
• ZPP：包含可以使用概率图灵机在多项式时间内零错误解决的决定性问题。
• RP：包含可以使用概率图灵机在多项式时间内解决的决定性问题，但它给出的两种答案中(是或否）只有一种答案是一定正确的，另一种则有几率不正确。
• BPP：包含可以使用概率图灵机在多项式时间内解决的决定性问题，它给出的答案有错误的概率在某个小于0.5的常数之内。
• BQP：包含可以使用量子图灵机在多项式时间内解决的决定性问题，它给出的答案有错误的概率在某个小于0.5的常数之内。

在机器模型可变的情况下，P在确定性机器上是最小的时间复杂度类。例如，将单带图灵机换成多带图灵机可以使算法运行速度以二次阶提升，但所有具有多项式时间的算法依然会以多项式时间运行。一种特定的抽象机器会有自己特定的复杂度类分类。

 

 

图灵机（英语：Turing machine），又称确定型图灵机，是英国数学家艾伦·图灵于1936年提出的一种抽象计算模型，其更抽象的意义为一种数学逻辑机，可以看作等价于任何有限逻辑数学过程的终极强大逻辑机器。

非确定型图灵机和确定型图灵机的不同之处在于，在计算的每一时刻，根据当前状态和读写头所读的符号，机器存在多种状态转移方案，机器将任意地选择其中一种方案继续运作，直到最后停机为止。具体而言，其状态转移函数为 

 

在计算复杂性理论内，概率图灵机是一个非决定型图灵机，在每个转折点根据某种概率分布随机选择某种可行的转变(transition)。

 

 

要理解这几个概念，首先要明白几件事：

1. 对于NP问题是否存在确定的多项式时间的解，目前还不清楚（即有可能有一天可以证明NP问题=P问题，但目前还证明不出来、也不能证明NP问题≠P问题，目前的结论只是NP问题集⊇P问题集
2. 问题之间可以规约，即如果某个NP问题存在确定的多项式时间解，那么另一个NP问题也存在确定的多项式时间解。这个过程是可以证明的、并且已经被证明。

• NP困难问题（NP-hard problems）

是指这样的一类问题，它们本身的复杂度是多少无所谓（但由后面的论述可知至少是NP），但是只要这个问题找到确定的多项式时间的解，那么我们可以证明出所有的NP问题都一定存在确定的多项式时间的解。（简单叙述一下就是，只要有一个NP困难问题找到P解，那么所有NP问题都是P问题）

• NP完全问题（NP-complete problems）

如果一个问题既是NP困难问题又是NP问题，我们称之为NP完全问题。