几种常见的排序算法分析学习

Posted 2020-10-08 雷超朝

 

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1. 冒泡排序
2. 选择排序
3. 1 直接插入排序
4. 1 二分查找插入排序
5. 希尔入排序
6. 快速排序
7. 归并排序
8. 总结

 

本篇博客知识点 
分别描述了 冒泡，选择，直接插入，二分插入，希尔，快速以及归并排序。同时还有Java实现代码，算法分析和示意图

冒泡排序

算法描述

• 设待排序记录序列中的记录个数为n
• 一般地，第i趟起泡排序从1到n-i+1
• 依次比较相邻两个记录的关键字，如果发生逆序，则交换之。
• 其结果是这n-i+1个记录中，关键字最大的记录被交换到第n-i+1的位置上，最多作n-1趟。

算法实例 
经过五趟可以将 21 25 49 25 16 08 排为由小到大的升序 
 
其中，里面的每一趟的排序示意如下，以第一天49如何配到最后为例 

每一趟的结果都是把未排序的最大的那个数字排到最后。

算法代码实现—Java代码实现 
工具方法，交换数组中的两个位置

private static void swap(int[] num, int i, int j) {
        int temp = num[i];
        num[i] = num[j];
        num[j] = temp;

    }

//优化版---冒泡排序
    public void sort2(int [] num){
        for(int i=0;i<num.length;i++){
            boolean isOK = true; 
            for(int j=0;j<num.length-i-1;j++){
                if(num[j]>num[j+1]){
                    //交换位子
                    swap(num, j, j+1);
                    isOK = false;
                }
            }
            // 当某次没有交换时，说明已经是排好序了。后面就可以不用再比较了
            if(isOK){
                System.out.println("isOk:"+isOK);
                break;
            }
        }
    }
    //冒泡排序
    public void sort1(int [] num){
        for(int i=0;i<num.length-1;i++){
            for(int j=0;j<num.length-1-i;j++){
                if(num[j]>num[j+1]){
                    //交换位子
                    swap(num,j,j+1);
                }
            }
        }
    }

 

算法评价

• 时间复杂度：T(n)=O(n2)
• 空间复杂度：S(n)=O(1) 
  

选择排序

算法描述

• 首先通过n-1次比较，从n个数中找出最小的， 将它与第一个数交换——第一趟选择排序，结果最小的数被安置在第一个元素位置上。
• 再通过n-2次比较，从剩余的n-1个数中找出关键字次小的记录，将它与第二个数交换——第二趟选择排序。
• 重复上述过程，共经过n-1趟排序后，排序结束。

排序实例 
找到最小的数，把他放到前面去 

算法代码实现—Java代码实现

//选择排序:每一趟选出最小的数前面的数交换
    public void sort2(int a[]){
        int k = 0;// k用来比赛当前最小的数的坐标
        for(int i=0;i<a.length-1;i++){
            for(int j=i+1;j<a.length;j++){
                if(a[j]<a[k]){
                     k = j;
                }
            }
            //一轮比较完后，最小的数的位子为k  应该放的位子最前面的位子i 交换~
            swap(a, i, k);
        }
    }

算法评价

• 时间复杂度：T(n)=O(n2)
• 空间复杂度：S(n)=O(1) 
  

3.1 直接插入排序

算法分析

• 关键字比较次数和记录移动次数与记录关键字的初始排列有关。
• 最好情况下, 排序前记录已按关键字从小到大有序, 每趟只需与前面有序记录序列的最后一个记录比较1次, 移动2次记录, 总的关键字比较次数为 n-1, 记录移动次数为 2(n-1)。在平均情况下的关键字比较次数和记录移动次数约为n2 /4。
• 直接插入排序是一种稳定的排序方法
• 直接插入排序最大的优点是简单，在记录数较少时，是比较好的办法。

算法描述：

记录存放在数组R[0….n-1]中，排序过程的某一中间时刻，R被划分成两个子区间R[0…i-1]和R[i….n-1]，其中：前一个子区间是已排好序的有序区；后一个子区间则是当前未排序的部分。

基本操作：

将当前无序区的第1个记录R[i]插入到有序区R[0….i-1]中适当的位置，使R[0…i]变为新的有序区。

操作细节：

  当插入第i(i≥1)个对象时, 前面的r[0], r[1], …, r[i-1]已经排好序。
  用r[i]的关键字与r[i-1], r[i-2], …的关键字顺序进行比较(和顺序查找类似)，如果小于，则将r[x]向后移动(插入位置后的记录向后顺移)；找到插入位置即将r[i]插入。

• 1
• 2

算法实例： 21, 25, 49, 25*, 16, 08 

实现代码

//3.1直接插入排序 ---原序列越有序排得越快 (逆序排得最慢)
    public void sort3_2(int a[]){
        //依次把每个元素拿来插入到 之前已经有序的子序列当中
        for(int i=0; i<a.length-1; i++){//趟数:n-1  ---除第1个元素，后面的每个元素都拿来插入一次
            //前面i个数已经排好序，现在是准备插入第i+1个数

            //待插入的数
            int temp = a[i+1];

            //找到j ----temp最终是坐在j+1的位置    j的情况:或者是-1，或者是从后往前找到的第一个没有比temp大的数
            int j=i;//从第i个位置开始从后往前依次边查找边移位置
            while(a[j]>temp){
                a[j+1] = a[j];
                j--;
                if(j<0){
                    break;
                }
            }
            //让temp坐在j+1的位置 
            a[j+1]=temp;
        }
    }

 

3.1 二分查找插入排序

算法描述：

• 在直接插入排序的基础上，利用二分(折半)查找算法决策出当前元素所要插入的位置。
• 在直接插入排序的基础上，利用二分(折半)查找算法决策出当前元素所要插入的位置。
• 找到当前元素的插入位置i之后，把i和high之间的元素从后往前依次后移一个位置，然后再把当前元素放入位置i。

算法实现：

    //3.2 加入二分查找的插入排序
        private static void binaryInsertSort(int[] a) {
            //依次把每个元素拿来插入到 之前已经有序的子序列当中
            for(int i=0; i<a.length-1; i++){//趟数:n-1  ---除第1个元素，后面的每个元素都拿来插入一次
                //前面i个数已经排好序，现在是准备插入第i+1个数

                //待插入的数
                int temp = a[i+1];

                //※※利用二分算法查找j ---j的定义同3.1
                int low=0;
                int high=i;
                int mid;
                while(low<=high){
                    //System.out.println(low+","+high);
                    mid =(low+high)/2;
                    if(a[mid]>temp){//左半区(所有右半区的数都会比temp大)
                        high=mid-1;
                    }else{//右半区
                        low = mid+1;
                    }
                }
                int j=high;//出循环后，high的位置即是我们想要找的j

                //把[j,i]部分的元素全部往后移一个位置
                for(int k=i;k>j;k--){
                    a[k+1]=a[k];
                }

                //让temp坐在j+1的位置 
                a[j+1]=temp;
            }

        }

希尔入排序

1.希尔排序又称缩小增量排序，是1959年由D.L.Shell提出来的。

算法描述

1.先取定一个小于n的整数gap1作为第一个增量，把整个序列分成gap1组。所有距离为gap1的倍数的元素放在同一组中，在各组内分别进行排序（分组内采用直接插入排序或其它基本方式的排序）。
2.然后取第二个增量gap2<gap1，重复上述的分组和排序。
3.依此类推，直至增量gap＝1，即所有元素放在同一组中进行排序为止。

算法分析

• 开始时 gap 的值较大, 子序列中的元素较少, 排序速度较快。
• 随着排序进展, gap 值逐渐变小, 子序列中元素个数逐渐变多,由于前面大多数元素已基本有序, 所以排序速度仍然很快。
• 分组后n值减小，n2更小，而T(n)=O(n2),所以T(n)从总体上看是减小了。
• Gap的取法有多种。 shell 提出取 gap = n/2 ，gap = gap/2 ，…，直到gap = 1。gap若是奇,则gap=gap+1

运用实例 

实现代码

//希尔排序，最小增量排序
    public void sort4_1(int a[]){
        // gab---每次减半
        for( int gab=(a.length+1)/2;gab>0;gab=(gab+1)/2){
            //组内排序---简单冒泡排序
            for(int i=0;i<a.length-gab;i++){
                for(int j=i;j<a.length-gab;j+=gab){
                    if(a[j]>a[j+gab]){
                        swap(a, j, j+gab);
                    }
                }
            }
            if(gab==1){
                break;
            }
        }
    }

 

快速排序

算法描述

• 任取待排序记录序列中的某个记录(例如取第一个记录)作为基准(枢),按照该记录的关键字大小,将整个记录序列划分为左右两个子序列
• 左侧子序列中所有记录的关键字都小于或等于基准记录的关键字
• 右侧子序列中所有记录的关键字都大于基准记录的关键字
• 基准记录则排在这两个子序列中间(这也是该记录最终应安放的位置)。
• 然后分别对这两个子序列重复施行上述方法，直到所有的记录都排在相应位置上为止。

基准记录也称为枢轴（或支点）记录。取序列第一个记录为枢轴记录，其关键字为Pivotkey。指针low指向序列第一个记录位置，指针high指向序列最后一个记录位置。

• 1

算法特点：

• 以某个记录为界(该记录称为支点或枢轴)，将待排序列分成两部分:
• 一部分: 所有记录的关键字大于等于支点记录的关键字
• 另一部分: 所有记录的关键字小于支点记录的关键字

算法实例 
 
 

算法分析

• 快速排序是一个递归过程，快速排序的趟数取决于递归树的高度。
• 如果每次划分对一个记录定位后, 该记录的左侧子序列与右侧子序列的长度相同, 则下一步将是对两个长度减半的子序列进行排序, 这是最理想的情况 
  实现代码

//快速排序
        private static void sort5_1(int[] a, int p, int r) {
            if(p<r){
                int q = partition(a,p,r);//划分之后，a[q]的位置已经排好，a[p~q-1]中的元素全部比a[q]小，a[q+1~r]中的元素全部比a[q]大
                sort5_1(a,p,q-1);//左子序列
                sort5_1(a,q+1,r);//右子序列
            }
        }
        private static int partition(int[] a, int p, int r) {
            //优化,随机取一个数和第一个数交换
            int rand = (int)(Math.random()*(r-p));
            swap(a,p,p+rand);  //把随机选中的元素换到首元素(枢轴)
            //以下代码都是以第一个数为枢轴
            int x=a[p];
            int i=p+1;//把第一个元素定为枢轴
            int j=r+1;
            while(true){
                /*
                //i--在左区找比枢轴大的数(位置)
                while(a[i]<x && i<r){
                    i++;
                }
                //j--在右区找比枢轴小的数(位置)
                while(a[j]>x){
                    j--;
                }
                */

                //i--在左区找比枢轴大的数(位置)
                while(a[i]<x && i<r){
                    i++;
                }
                //j--在右区找比枢轴小的数(位置)
                while(a[--j]>x);

                if(i>=j){
                    break;
                }
                swap(a,i,j);
            }
            //把枢轴换中间位置
            swap(a,p,j);

            return j;
        }

算法评价

• 时间复杂度：

最好情况（每次总是选到中间值作枢轴）T(n)=O(nlogn) 
最坏情况（每次总是选到最小或最大元素作枢轴）T(n)=O(n2)

• 空间复杂度：需栈空间以实现递归

最坏情况：S(n)=O(n) 
一般情况：S(n)=O(logn)

快速排序 优化—前面实现版本

   1.可以证明，快速排序算法在平均情况下的时间复杂性和最好情况下一样，也是O(nlogn)，这在基于比较的算法类中算是快速的，快速排序也因此而得名。
   2.快速排序算法的性能取决于划分的对称性。因此通过修改partition( )方法，可以设计出采用随机选择策略的快速排序算法，从而使期望划分更对称，更低概率出现最坏情况。

归并排序

算法描述：

1.设初始序列含有n个记录，则可看成n个有序的子序列，每个子序列长度为1。
2.两两合并，得到 n/2 个长度为2或1的有序子序列。
3.再两两合并，……如此重复，直至得到一个长度为n的有序序列为止。

算法实例 

实现代码

//6归并排序
    //6.1 归并方法(要求掌握)：把数组a[]当中 [left,mid] 和  [mid+1,right] 两个子序列归并，结果放在b[]
    private static void merge(int[]a, int[]b, int left,int mid, int right ){
        int p=left; //子序列a[left,mid]的遍历游标
        int r=mid+1; //子序列a[mid+1,right]的遍历游标
        int k=left; //归并结果序列b[left,right]的遍历游标

        //该过程持续到其中一个子序列归并完为止
        while( (p<=mid) && (r<=right) ){
            if( a[p]<a[r]){
                b[k++]=a[p++];
            }else{
                b[k++]=a[r++];
            }
        }
        //把另一个序列中剩下的元素直接对拷到 b 中
        if(p>mid){//左子序列归并完。把右子序列中剩下的元素对拷到b
            for(int i=r;i<=right;i++){
                b[k++]=a[i];
            }
        }else{//右子序列归并完。把左子序列中剩下的元素对拷到b
            for(int i=p;i<=mid;i++){
                b[k++]=a[i];
            }
        }
    }
    //6.2 对一个乱序序列进行用归并排序(了解即可)
    private static void mergeSort(int[]a, int left, int right){
        if (left<right) {//至少有2个元素才进行排序
            //先分解
            int mid = (left + right) / 2;
            mergeSort(a,left,mid);
            mergeSort(a,mid+1,right);

            //对上面的两个子序列进行归并排序
            int b[] = new int[a.length];//新开一个临时数组b,用于存放归并结果
            merge(a,b,left,mid,right);//把当前分解层次的两个子序列归并到数组b中
            copyArray(a,b,left,right);//把临时数组b中的数据复制到a中，由后续动作对a继续进行归并
        }
    }
    private static void copyArray(int[] a, int[] b, int left, int right) {
        for(int i=left;i<=right;i++){
            a[i] = b[i];
        }
    }

 

算法分析：

 1. 合并排序法主要是将两笔已排序的资料合并和进行排序。
 2.如果所读入的资料尚未排序，可以先利用其它的排序方式来处理这两笔资料，然后再将排序好的这两笔资料合并。 

算法评价

• 时间复杂度：T(n)=O(nlogn)
• 空间复杂度：S(n)=O(n)

总结