拆分集合为相等的子集合（第1届第1题）

Posted 2020-07-01 StrayedKing

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了拆分集合为相等的子集合（第1届第1题）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题目要求

问题描述：将1到N的连续整数组成的集合划分为两个子集合，且保证每个集合的数字和相等。例如，对于N=4，对应的集合{1,2,3,4}，能被划分为{1,4}、{2,3}两个集合，使得1+4=2+3，且划分方案只有此一种。编程实现给定任一正整数N(1<=N<=39)，输出其符合题意的划分方案数。

样例输入1：3

样例输出1：1 （可划分为{1,2}、{3}）

样例输入2：4

样例输出2：1 （可划分为{1,3}、{2,4}）

样例输入3：7

样例输出3：4 （可划分为{1,6,7}、{2,3,4,5}，或{1,2,4,7}、{3,5,6}，或{1,3,4,6}、{2,5,7}，或{1,2,5,6}、{3,4,7}）

解决方案

此题的解决方案有多种，但基本思想是动态规划。

首先，观察子集合的和。

对于任一正整数N，集合{1,2,3...N}的和为：

，

那么将集合S划分为两个和相等的子集合后，其子集合C中的整数和必为：

。

例如对于正整数4，集合{1,2,3,4}的和为S=4*(4+1)/2=10，那么将其划分为和相等的两个子集合后，其子集合C中的整数和为sum=S/2=5。

于是，此题就转化为在集合{1,2,3...N}中，任意选取k个数，使其和为N*(N+1)/4的问题，换句话说，就是限制子集合和为N(N+1)/4时，集合{1,2,3...,N}中可提供的整数选取方案数。

此描述隐含两个条件：第一，N*(N+1)除以4必须为整数，否则无法选取；第二，在选出k个数的所有方案中，每个方案都有其互补的方案。还是拿整数4举例，对于集合{1,2,3,4}，任选k个数，使其和为4*(4+1)/4=5时，有两种方案{1,4}和{2,3}，这两种方案互补构成所有整数集合，并生成一种集合划分方案。由此可得出，将选取k个数的所有方案数除以2，就是集合N划分为相等的子集合的方案数。

接下来，从集合S中往出选k个数，使其和为N*(N+1)/4，看有多少种选取方案。

给定集合S={1,2,3...,N}，我们将其一字排开，挨个判断每个数是否应该加入到满足整数和为N*(N+1)/4的子集合C。对于每个数，要么可以被加入到集合C，要么不可以被加入，只有这两种可能。那么如何知道当前的整数是否应该加入子集合呢？由于这个子集合的和与单个整数大小有悬殊，我们似乎一眼看不出来。既然这样，我们不妨缩小问题规模来渐进考虑，而缩小问题规模的常见切入点是减小“自变量”的规模。

重读“接下来...”那句话，发现其中有两个条件，一个目的。目的是“有多少种选取方案”，这就是因变量。条件是“选出k个数”和“使其和为N(N+1)/4”，这就是两个自变量，一个限制选取的整数，另一个限制选出的整数的和。既然有了自变量和因变量，不如定义个函数出来更好的描述问题：

在函数F(i, sum)中，i代表当前需要判断集合S中第i个数是否应该加入子集合，sum代表此时限制的子集合整数和大小，F(i, sum)代表限制子集合整数和为sum时，集合{0,1,2...,i-1,i}中可提供的选取方案。（如果有点蒙，继续往下看，后面会附图...事实证明多看几遍就理解了...）

如果我们要减小自变量规模，就要从上面两个自变量下手。先看选取的整数，集合S中的最小整数是1，我们加入一个更小的整数0（显然，0不会影响集合的划分）来辅助思考。对于选出的整数的和，也就是限制的子集合的整数和，我们也从最小的0开始判断，那么问题的最小规模就是：限制子集合的整数和为0时，考虑整数0是否可以加入子集合？这个问题的答案是肯定的，当子集合的和为0时，完全可以将0加入，且仅有次一种方案，那么用上述函数来表达就是：

明白了此点，也就顺利地得出：F(0, 1)=F(0, 2)=F(0, 3)...=F(0, N)=0，因为限制子集合整数和大于0时，光有0无论如何也不能选出符合此限制的整数集合，即可行方案数为0。

迈出第一步，后面的就好办了...这是安慰人，事实是前方高能，更费心神！

为避免词语重复，下面说S中第i个元素时，就是指第i个整数。

假设此时，S中前i-1个元素都判断完了，紧接着应该判断第i个元素，与此同时，子集合的整数和被限定为sum，那么这第i个元素要不要被加入子集合呢？对此，我们做如下推断：

1：如果这第i个元素本身大于子集合的整数和sum，即i>sum，那么这第i个元素肯定不能加入子集合，否则就超出子集合整数和限制了。此时：F(i, sum)=F(i-1, sum)，意思就是在相等的子集合整数和限制下，既然第i个元素没被加入，那么判断完第i个元素后的整数选取方案与判断完第i-1个数时的方案应该是相同的。

2：如果这第i个元素小于子集合整数和，那么就有两种考虑：

2.1：坚持不把第i个元素放入子集合，那么此时整数的选取方案仍然有F(i-1, sum)种。

2.2：如果把第i个元素放入了子集合，那么此时整数的选取方案有F(i-1, sum-i)种，sum-i的含义在于既然要放入第i个元素，就要给它留下足够的空间。F(i-1, sum-i)是在肯定要放入元素i的情形下，放入元素i前，整数的选取方案。

也即是说，i<=sum时，F(i, sum)=F(i-1, sum)+F(i-1, sum-i)。

综上可得：

如果觉得这个式子还是比较蒙圈，那还是从具体的解决方案入手深化理解，毕竟理论都是抽象的，不好琢磨。

下面的解决方案中，我们均设定N=4，那么集合S={1,2,3,4}对应的最终子集合的整数和就是4*(4+1)/4=5，即求F(4, 5)的值。

解决方案一

先对可能出现的图例做说明：

图零：

当对第0个元素判断时：

>若子集合整数和限定为0，那么只有把0放入子集合这一种可能。若子集合整数和大于0，那么放入0显然不能满足题意，故其选取方案均为0。

图一：

当对第1个元素判断时：

>限定子集合整数和为1：若要将元素1放入子集合，则1之前子集合中的元素和必须为1-1=0；若不放入元素1，则1之前子集合中的元素和必须为1，故在此子集合整数和限制下，加入1和不加入1就组成了两种方案，且这两种方案数的和为：F[1,1]=F[0,0]+F[0,1]；

>限定子集合整数和为2：若要将元素1放入子集合，则1之前子集合中的元素和必须为2-1=1；若不放入元素1，则1之前子集合中的元素和必须为2，即：F[1,2]=F[0,1]+F[0,2]；

>依次类推：F[1,3]=F[0,2]+F[0,3]；F[1,4]=F[0,3]+F[0,4]；F[1,5]=F[0,4]+F[0,5]；

>注意最后：当选取的元素i（纵向）大于子集合整数和（横向）时，F[i, sum]=F[i-1, sum]；也就是说，此时的元素i肯定放不进子集合，那么它满足题意的选取方案与上一个元素的方案一致。

图二：

图三：

图四：

最后，右下角的值F[i, sum]反应了所有满足题意的子集合数，将其除以2才是集合S的划分方案数。

源码示例一

解决方案二

由上面的解释，不知道大家是否察觉到计算过程其实就是个递归过程，那么我们尝试将其转换为递归形式。

结合综述中的式子，递归应该是最好被理解的，但是递归的缺点就是计算太慢...

源码示例二

解决方案三

针对前面的叙述，换一个角度思考。

给定集合{0,1,2,3,4}，如果我们是按顺序挑选的，那么要使选出的元素和为5，那么可以是选出元素和为5的组合，再把元素0加进来（如果之前的组合中没有0），还可以先选出和为4的元素组合，再把元素1加进来（如果之前的组合中没有1），或者，可以先选出和为3的元素组合，再把元素2加进来（如果之前的组合中没有2），再或者，可以先选出和为2的元素组合，再把元素3加进来（如果之前的组合中没有3）...最后，还可以是先选出和为0的组合，然后再把元素5加进来（如果之前的组合中没有5）。

如果用S(sum)表示元素和为sum的一个组合，那么上面的叙述可表示为：

S(5)=S(5)+0； S(5)=S(4)+1； S(5)=S(3)+2； S(5)=S(2)+3； S(5)=S(1)+4； S(5)=S(0)+5；

现在，再换一个维度考虑。

仍然是集合{0,1,2,3,4}，如果我们按顺序挑选到了i，那么i可能成为S(0)到S(5)任一组合中的元素之一。

如果i成了S(5)中的一份子，那么S(5)的组成方案数必定是没加入i前S(5)已有的组成方案数加上加入i后S(4)的组成方案数。（定一定神，结合解决方案一考虑，每遍历到一个元素i，都要加上之前遍历过程中求出的解决方案数）。

下面上图...

图零：

当挑选到第0个元素时，显然，构成S[0]只有一种方案，就是把0放入，其他S[1]到S[5]均为0。

图一：

当挑选到第1个元素时，满足S[5]的方案数等于当前已有的方案数（没加入元素1之前）加上满足S[4]的方案数（加上元素1），依次类推。

这里可能有两个疑问，第一是当前已有的方案数（没加入元素1）从何而来？事实上，这个方案数自初始化以来，就一直"传递"下去，并在遍历到每个元素时，进行更新。另一个疑问是这里为什么倒着计算，即每遍历到一个元素，先从S[5]计算，其实是S[4...1]。这个原因在于每次更新数据前，当前位置保持的是遍历完上一个元素后的方案数，而计算当前遍历元素下的方案数时，总是需要用到遍历完上一个元素后的数据，所以，如果正着往后算，会造成数据错乱。（不知道我说清楚了没...）

举例，假如刚刚遍历完元素0，现在轮到遍历元素1了，此时上图数组的初始状态分别存储了遍历完元素0后满足子集合整数和为0、1、2、3、4、5的元素选取方案数。这个初始状态来自于上个元素，而且要被复用，所以必须等使用完了才能再根据当前元素1的情形进行更新。由于其复用的规律是后面用到前面的数据，所以从后往前推算就不会造成混乱了。

图二：