BZOJ2004: [Hnoi2010]Bus 公交线路

Posted 2020-10-08 QYP_2002

2004: [Hnoi2010]Bus 公交线路

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Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距

离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和

终点站也算被经过）。 

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只

需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】

 

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

 

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5)

P<=10 , K <=8

思路{
  P,K小得不行，想到了状态压缩。n的范围如此之大，考虑矩阵快速幂！
  先从简单的状态压缩开始。设$dp[i][j]$为强制选第i号停车，从第i号开始的后面p个的停车状态。转移。
  发现一个问题(1->3,2->4)和(2->4,1->3)属于同一种情况，所以我们只需要考虑dp[i-1]->dp[i]。
  关键就是后面状态j的转移关系了。发现dp[i-1][j‘]->dp[i][j]满足j‘变成j时实际位置对应的状态中的二进制数的位数+1
  那么先删去i-1位置的数,j‘-=(1<<(p-1)),然后j‘<<1,变成对应的位置，由于j‘->j时只有一个相对位置发生了变化，那么j‘^=j，判断j‘的二进制数中1的个数是否为1即可。
  那么转移方程就出来了。考虑构造矩阵。
  暴力构造矩阵的话大小是(2^p)^2的显然不行，我们只需考虑后面的p位中有k位有车的状态，不妨先DFS找出所有的状态，然后两两枚举即可。注意转移关系在矩阵中对应的位置
  不难发现构造的矩阵大小是(C(p-1,k-1))的，那这个就很对了。
  所以总的复杂度是O(logn*C(p-1,k-1)^3+p!)的。
}

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define RG register
#define il inline
#define N 200
#define mod 30031
using namespace std;
int n,k,p,que[N];
struct matrix{
  int n,m;
  ll ma[N][N];
  void clear(){memset(ma,0,sizeof(ma));n=m=0;}
  matrix operator *(const matrix & a)const {
    matrix c;c.clear();
    c.n=n,c.m=a.m;
    for(int i=1;i<=c.n;++i){
      for(int j=1;j<=c.m;++j){
	for(int k=1;k<=m;++k){
	  c.ma[i][j]+=ma[i][k]*a.ma[k][j];
	}
	(c.ma[i][j]+=mod)%=mod;
      }
    }
    return c;
  }
};
matrix qp(matrix a,ll b){
  if(b==1)return a;if(b==2)return a*a;
  matrix tmp=qp(a,(b>>1));
  tmp=tmp*tmp;
  if(b&1)tmp=tmp*a;
  return tmp;
}
void dfs(int pos,int num,int cnt){
  if(cnt==k){que[++que[0]]=num;return;}
  for(int i=pos-1;i!=-1;i--)
    dfs(i,num+(1<<i),cnt+1);
}
#define lowbit(o) ( (o) & (-o) )
bool check(int x,int y){
  int Temp=x-(1<<(p-1));
  Temp<<=1;Temp^=y;
  if(Temp==lowbit(Temp))return 1;
  return 0;
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
  dfs(p-1,(1<<(p-1)),1);
  matrix temp;temp.clear();temp.n=temp.m=que[0];
  matrix ans;ans.clear();ans.ma[1][1]=1;ans.n=que[0],ans.m=1;
  for(int i=1;i<=que[0];++i){
    for(int j=1;j<=que[0];++j){
      if(check(que[i],que[j]))temp.ma[j][i]=1;
    }
  }
  temp=qp(temp,n-k);
  ans=temp*ans;
  cout<<ans.ma[1][1];
  return 0;
}