递归和非递归方法实现斐波那契

Posted 2020-07-01

     斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci[1]  ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

斐波那契递归算法实现。

//递归实现斐波那契
long long Fibonacci(int n)
{
	//if (n == 0 || n == 1)
	//	return n;
	//else
	//	return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
	return n < 2 ? n : Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

由于斐波那契递归算法时间复杂度：O（2^N）空间复杂度为:O(N)，下面通过非递归实现斐波那契。

//非递归实现斐波那契-------时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)
long long Fibonacci(int n)
{
	long long *fibonacci = new long long[n + 1];//注意此处开辟n+1个空间
	fibonacci[0] = 0;
	fibonacci[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		fibonacci[i] = fibonacci[i - 1] + fibonacci[i - 2];
	}
	long long ret = fibonacci[n];
	delete[] fibonacci;
	return ret;
}
//非递归实现斐波那契--迭代法-------时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)
long long Fibonacci(int n)
{
	long long fibonacci[3] = { 0, 1, n };
	fibonacci[0] = 0;
	fibonacci[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		fibonacci[2] = fibonacci[1] + fibonacci[0];
		fibonacci[0] = fibonacci[1];
		fibonacci[1] = fibonacci[2];
	}
	return fibonacci[2];
}
//非递归实现斐波那契--迭代法-------空间复杂度O(n),时间复杂度O(1)
long long Fibonacci(int n)
{
	long long result;
	long long pre_result;
	long long next_pre_result;
	next_pre_result = 0;
	pre_result = 1;
	result = 0;
	while (n > 0)
	{
		next_pre_result = pre_result;
		pre_result = result;
		result = next_pre_result + pre_result;
		n--;
	}
	return result;
}

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