luoguP1463:反素数ant（打表心得☆）

Posted 2020-10-08 这里有十二吨芒果

题目描述

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。

如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。

现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

输入输出格式

输入格式：
一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

输出格式：
不超过N的最大的反质数。

输入输出样例

输入样例#1：
1000
输出样例#1：
840

题目

Step 1

这个是在openjudge上（7591）能A的代码（原题：输出l~r的所有反素数），因为那时n<=2e7啊。

当然也要讲一下原理。对于数的因子个数，不得不提唯一分解定理——n=a1^p1*a2^p2*…………其中a为该数的质因数，p为它的个数，比如49=7^2，其中a1=7,p1=2。于是因子个数为（p1+1）*（p2+1）*……（49有2+1=3个因子，1,7,49）。那么搜索的目的就很明显了，枚举质因子凑数字，凑出来的那一刻已经得到了它的因子个数！

给质数打个表，打多少呢？前十几个质数虽然都很小，但乘起来肥肠肥肠恐怖啊（不信你自己试一试），所以后面都不用了。

继续剪枝，举个栗子，2^3*3^2=72,2^2*3^3=108,它们的因子个数都为（2+1）*(3+1)=12，72明显小于108，也很明显如果把3的次方给2匀一个答案更优。同样的道理，2*3=6 < 2*5=10，如果质因数的组合不连续则一定存在更小的数比当前更优。

最后我们画一棵解答树，第一层是2^1、2^2、2^3……它们的分支都有3^1、3^2、3^3……之后还有5、7、11等等接着找（具体参考程序，id为第几个质因数，now是数的大小，tot是因子数）。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int maxn,L,R,f,ans[20000010],p[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
void dfs(int id,int now,int tot)
{
    ans[now]=tot;
    for(int i=1;now*p[id]<=R;++i) dfs(id+1,now*=p[id],tot*(i+1));
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&L,&R);
    dfs(1,1,1);
    for(int i=1;i<L;++i) maxn=max(maxn,ans[i]);
    for(int i=L;i<=R;++i)
        if(ans[i]>maxn){
            maxn=ans[i];
            f?printf(","):f=1;
            printf("%d",i);
        }
    if(!f) puts("NO");
    return 0;
}

 

Step 2

如果能做到第一步，你就已经有一个不错的爆搜程序了，但对于2e9的范围来说还是弱了不少。仔细读题，发现这两道题还是有点区别的，我们不必求出这个范围内的所有反素数，只用找到那个最大的。既然这样，那我们就直奔答案寻找新的优化。更新条件有两个注意不要漏（估计只有像我这样头不好的人才会两次都写错……），之后参考Step 1的剪枝，我们尽量让小质数的次方数大，这也就意味着对于2^p1*3^p2*5^p3,满足p3<=p2<=p1。开个use数组记录一下p就好了。

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<cstring>
 7 #define ll long long
 8 #define inf 1<<29
 9 using namespace std;
10 int n,p[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31},use[20];
11 ll maxt,ans;
12 void dfs(ll id,ll now,ll tot)
13 {
14     if(tot>maxt||(tot==maxt&&now<ans)) ans=now,maxt=tot;
15     use[id]=0;
16     while(now*p[id]<=n&&use[id]+1<=use[id-1]){
17         use[id]++;
18         now*=p[id];
19         dfs(id+1,now,tot*(use[id]+1));
20     }
21 }
22 int main()
23 {
24     scanf("%d",&n);
25     use[0]=1<<29;
26     dfs(1,1,1);
27     printf("%lld",ans);
28     return 0;
29 }

 

Step 3

用我之前的程序可以打出比较小的表（2e8以内），观察一下，发现反素数其实很少，而且越往后它们的间隔越大（147026880~183783600，△=3e7+）。这也就意味着我们不用一个一个数去枚举小于它的最大的反质数。于是，先记录2e9的答案为1396755360，再把它减一输入程序，不断重复该操作与小的表接起来。我们终于打出最后的表了。（不容易啊QAQ~~~~~）

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define ll long long
 4 using namespace std;
 5 int n,biao[]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360};
 6 int main()
 7 {
 8     scanf("%d",&n);
 9     for(int i=0;i<68;++i)
10         if(biao[i]>n){
11             printf("%d",biao[i-1]);
12             return 0;
13         }
14     printf("%d",biao[67]);
15     return 0;
16 }