猴子排序的期望复杂度(雾)

Posted 2020-10-08 wawcac

　　众所周知，猴子排序打破了排序算法$O(n\log_{2}{n})$的桎梏(雾)，具体的话，显然最好情况一次成功就是$O(n)$，最坏情况那就$O(+\infty)$了。期望是多少呢？让我来推导一番(逃)。

　　首先，每次打乱序列和检测是否有序为$O(n)$，每次成功的概率为$\frac{1}{n!}$(全排列共$n!$种)，失败的概率为$1-\frac{1}{n!}$。我们令$X$为排序成功所需的打乱次数，则$P(X=k)=P_{成功}^{1}×P_{失败}^{k-1}$(乘法原理)。分布列如下表所示——

$X$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$k$	$\cdots$	$+\infty$
$P(X=k)$	$\frac{1}{n!}$	$\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}$	$\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}$	$\cdots$	$\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}$	$\cdots$	$+\infty$

　　有了分布列就来求X的期望吧——

$$E(X)=1×\frac{1}{n!}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}+\cdots$$

$$=\frac{1}{n!}×\left[1×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{0}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{1}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}+\cdots\right]$$

$$=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}$$