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Posted 2020-10-08

SoftMax回归  http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

我们的训练集由  个已标记的样本构成： ，其中输入特征。（我们对符号的约定如下：特征向量  的维度为 ，其中  对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。假设函数(hypothesis function) 如下：

我们将训练模型参数 ，使其能够最小化代价函数 ：

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标  可以取  个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有  个不同的类别。

对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计  的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个  维的向量（向量元素的和为1）来表示这  个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数  形式如下：

其中  是模型的参数。请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号  来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将  用一个  的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将  按行罗列起来得到的，如下所示：

 

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， 是示性函数，其取值规则为：

值为真的表达式 ，  值为假的表达式 。举例来说，表达式  的值为1 ，的值为 0。我们的代价函数为：

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的  个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将  分类为类别  的概率为：

.

对于  的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

让我们来回顾一下符号 "" 的含义。 本身是一个向量，它的第  个元素  是 对 的第  个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: (）。

当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

 

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量  中减去了向量 ，这时，每一个  都变成了 ()。此时假设函数变成了以下的式子：

换句话说，从  中减去  完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 。

进一步而言，如果参数  是代价函数  的极小值点，那么  同样也是它的极小值点，其中  可以为任意向量。因此使  最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于  仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当  时，我们总是可以将 替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量  （或者其他  中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的  个参数  （其中 ），我们可以令 ，只优化剩余的  个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

 

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项  来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数  的导数，如下：

通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

 

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数  时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当  时，softmax 回归的假设函数为：

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:

因此，用 来表示，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 ，另一个类别概率的为 ，这与 logistic回归是一致的。

input_data代码

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import input_data
import tensorflow as tf
mnist = input_data.read_data_sets("Image/", one_hot=True)
x=tf.placeholder(tf.float32,[None,784]) #创建存储样本的表
W=tf.Variable(tf.zeros([784,10])) #创建变换矩阵W
b=tf.Variable(tf.zeros([10])) #创建偏置常量b
#学习的是W与b
y=tf.nn.softmax(tf.matmul(x,W)+b)#设置好模型放入softmax回归函数中
y_=tf.placeholder("float",[None,10])#用于存储真是的数据标签
#利用交叉熵作为coastFunction
cross_entropy=-tf.reduce_sum(y_*tf.log(y))
#利用梯度下降方法最小化coastFunction
train_step=tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cross_entropy)
#初始化所有变量
init=tf.global_variables_initializer()
sess=tf.Session()
sess.run(init)
for i in range(1000):
    #每次随机抓取100个数据点进行训练
    bach_xs,bach_ys=mnist.train.next_batch(100)
    sess.run(train_step,feed_dict={x:bach_xs,y_:bach_ys})
#训练结束
#计算精度
#tf.equal 该函数计算矩阵对应元素相等 返回对比结果返回布尔值  argmax返回最大值的索引
correct_prediction=tf.equal(tf.argmax(y,1),tf.argmax(y_,1))
#tf.cast把布尔转化为float
accuracy=tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction,"float"))
#输出结果
print sess.run(accuracy,feed_dict={x:mnist.test.images,y_:mnist.test.labels})