经济增长系列：家庭最优化之Ramsey方法

Posted 2020-10-08

定义1：当决策者在决策时，考虑其后代的福利和资源约束，则称该决策者具有利他主义；特别地，某个家庭中的决策者，称为具有利他主义的父辈。 

定义2：当一个家庭分为父辈（决策者）和子辈，在某个时间点，父辈将决策权、决策偏好和全部资源全部转交给子辈，则称为代际垂直互动。

定义3：当一个家庭中，任何时刻均存在一个有限生命的父辈（家庭决策者）时，则称该家庭为不间断存在的家庭（家族）。

定理1：当一个家庭具有利他主义父辈、不间段存在以及代际垂直互动时，在家庭决策中，单个家庭等价于一个拥有无限寿命的父辈个体。 

证明：要证单个家庭决策等价于无限寿命的个体决策，只需证目标函数和预算约束相同

（1）利他主义的父辈在代际垂直互动中会将一切偏好（包含时间偏好）传递给子辈，这意味着子辈的效用函数（时间折现后的效用）与父辈一致；

（2）不间断存在的家庭意味着目标函数的时间区间为[0,$\infty$）,这与无限寿命个体的一致；

（3） 代际垂直互动中，父辈会将全部资源转交给子辈，因此在任何时刻，家庭的资源（预算约束）均等同于无限寿命父辈个体在该时刻的资源；

（4）决策的目标函数由效用函数、时间区间组成，由（1）和（2） 的家庭与无限寿命父辈个体的目标函数一致；根据（3）可得预算约束一致。

定理1得证。

 模型1：

 

 

二、数学建模：

 

（1）效用函数

$U = \int_{t=0}^{\infty}e^{-\rho t}(\frac{1}{1-\sigma}C^{1-\sigma}\phi(L))dt$

解释：