Luogu P1836 数页码_NOI导刊2011提高（04）

Posted 2020-10-07

题目描述

一本书的页码是从1—n编号的连续整数：1,2,3,…,n。请你求出全部页码中所有单个数字的和，例如第123页，它的和就是1+2+3=6。

输入输出格式

输入格式：

一行为n(1≤n≤1O^9)。

输出格式：

 一行，代表所有单个数字的和。

输入输出样例

输入样例#1：

3456789

输出样例#1：

96342015 

Solution

本题是让我们求1~n这n个数所有单个数字的和，我们可以试着把每一位所有出现过的数字的和先求出来，然后把每一位的答案加起来就是最终的答案了。

我们就看“3456789”这个例子，它的最高位（百万位）是两部分的和：

1. 1000000~1999999中的1和2000000~2999999中的2；（这里的和为1000000*(1+2)）

2. 3000000~3456789中的3。（这里的和为(456789+1)*3）

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做到这里我们已经可以略微摸索出一些规律了，我们在来看一下十万位：

1. 100000~2999999中的1~9，每个数都轮了3次；（这里的和为100000*(1+2+3+...+9)*3）

2. 3000000~3399999中的1~3；（这里的和为100000*(1+2+3)）

3. 3400000~3456789中的4。（这里的和为(56789+1)*4）

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这里比最高位（百万位）的操作多了一个步骤（其实也可以看做没有，但我习惯分开来算qwq），我们再来看一下万位：

1. 10000~3399999中的1~9，每个数轮了34次；（这里的和为10000*(1+2+3+...+9)*34）

2. 3400000~3449999中的1~4；（这里的和为10000*(1+2+3+4)）

3. 3450000~3456789中的5。（这里的和为(6789+1)*5）

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规律已经很明显了，所以我们只需要将最高位两步处理，而其他位根据我们得出的规律三步处理就行了。

这里具体的规律就不说了，只要看上面的例子和下面的代码应该就可以差不多理解了。

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pascal代码如下：

var s:string;
n,m,i,j,k:longint;
ans:qword;
begin
  readln(n);
  str(n,s);
  i:=1;
  for m:=1 to length(s)-1 do
  i:=i*10;
  j:=n div i;
  n:=n mod i;
  ans:=i*j*(j-1) div 2+(n+1)*j;
  for m:=2 to length(s) do
  begin
    i:=i div 10;
    k:=k*10+j;
    j:=n div i;
    n:=n mod i;
    ans:=ans+i*45*k+i*j*(j-1) div 2+(n+1)*j;
  end;
  writeln(ans);
end.