关于树论动态树问题（LCT）

Posted 2020-10-07 AKCqhzdy

搬运：看一道caioj1439

题目描述 
一开始给你一棵n个点n-1条边的树，每个点有一个权值wi。 
三种操作： 
op=1 u v :在点u和点v之间建一条边。 
op=2 u v:摧毁点u到点v之间的边。 
op=3 w u v:将点u和点v之间路径上的点（包括u,v），权值增加w。 
op=4 u v:询问点u到点v之间路径上的点（包括u,v），权值最大值。 
当操作违法时（询问一中u,v已经相连，二三四中u,v不联通，一二操作u==v）不进行操作并输出-1。 
输入 
从文件weight.in中读取输入。 
第1行为1个正整数n，表示点的个数。 
第2~n行为开始树所有的边，每行两个正整数u,v，代表u和v之间有一条边。 
第n+1行有n个正整数，表示一开始点的权值。 
下一行为一个正整数m代表下来有m个操作。 
以下m行，一行表示一个操作。 
行首先输入一个正整数op。 
当op=1,2,4时，输入两个正整数u,v 
当op=3时，输入三个正整数w,u,v 
操作如题意 
输出 
输出到文件weight.out。 
对每个4操作，输出点u到点v之间路径上的点（包括u,v），权值最大值。同时对于违法情况输出-1。

该类动态树问题一个突出点就是动态，假如没有1、2操作当然可以方便的运用树链剖分算法水过（详见第8章 树链剖分）。前一章的伸展树只支持改变树的形态，难以对树的结构进行改变，对于建边删边的操作的需要，我们要运用多棵伸展树组成新树，即解决该类动态树问题的普遍方法，Link-Cut-Tree，俗称LCT。 
它跟树链剖分类似，只不过树剖用线段树维护重链，而LCT用伸展树（是不是很高大上），在两棵伸展树之间，如果它们属于同一个LCT，那么将有一条虚边，连接着它们，在不影响伸展树的正常操作前提上，保持应有的连系。 
大家可以感性的认识….可以假设一开始问题给出的树边都是虚边，我们人为的在上面画重链，每条重链用一棵伸展树维护他（就跟线段树一个道理嘛，目标是减少暴力枚举的时间，只不过伸展树更加快捷灵活），关键的，如果没有连边删边操作，同伸展树一样，整棵树的结构是不变的。 
当然啦，题目也可能给出很多棵树，我们可以臆想一下，这些树都属于0节点的子树，只不过他们连的边被“操作删除”了，这样也是合理的。同样道理，当我们在解决动态树问题的过程中，有时也会出现这棵树被分成多份。也就是说，Link-Cut-Tree本质上这个图可以是一个森林。

讲讲操作吧。 
最重要的access(x)：令x到当前所处的树的根这条路径成为偏爱路径(相当于树剖的重链)，然后用splay维护，这是与树剖最大的不同，这样的灵活性也符合动态树。 
make_root(x)：令x成为当前树的根，但是！！不是在当前重链中伸展树的根，也不是整个图中所有点的根，而是，x当前所处的树的根！ 由于 LCT的Link和Cut操作，注定了整个图可能出现多棵树，树与树之间如果不添加边，都是一个独立的动态树。 
Link(x,y)：让x成为根，然后连一条虚边到y就OK了。 
Cut(x,y)：先将x设为根（假设现在是点1）假设y是点6，那我们将1~6的路径设为偏爱路径（放在一棵伸展树里）将6旋转到伸展树的根，可以发现，点1肯定在伸展树的最左端，让y断开与左端的连接就行了。 
 
findroot(x)：同理，真正在树中的根肯定在树的最左边，所以说找根其实很简单。 
PS：所以在make_root后要让整棵伸展树翻转，比如说将6变为根，1,4都在它左边，这样就不科学了。

如果还有不明白的，可以看caioj的书，还有上caioj1439看视频，视频非常好！！出视频的人改变了我的一生，从未见过有如此懂我的人，他太强了，我崇拜他一辈子！！

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
struct node
{
    int f,d,c,n,son[2],mx,ad;
    bool fz;
}tr[310000];
void add(int x)
{
    tr[x].d+=tr[x].ad;tr[x].mx+=tr[x].ad;
    int lc=tr[x].son[0],rc=tr[x].son[1];
    tr[lc].ad+=tr[x].ad;
    tr[rc].ad+=tr[x].ad;
    tr[x].ad=0;
}
void update(int x)
{
    int lc=tr[x].son[0],rc=tr[x].son[1];
    tr[x].c=tr[lc].c+tr[rc].c+tr[x].n;
    if(tr[lc].ad!=0)add(lc);
    if(tr[rc].ad!=0)add(rc);
    if(lc==0)tr[lc].mx=0;
    if(rc==0)tr[rc].mx=0;
    tr[x].mx=max(max(tr[lc].mx,tr[rc].mx),tr[x].d);
}
void reverse(int x)
{
    tr[x].fz=false;
    swap(tr[x].son[0],tr[x].son[1]);
    int lc=tr[x].son[0],rc=tr[x].son[1];
    tr[lc].fz=1-tr[lc].fz;
    tr[rc].fz=1-tr[rc].fz;
}
void rotate(int x,int w)
{
    int f=tr[x].f,ff=tr[f].f;
    int R,r;

    R=f;r=tr[x].son[w];
    tr[R].son[1-w]=r;
    if(r!=0)tr[r].f=R;

    R=ff;r=x;
         if(tr[R].son[0]==f)tr[R].son[0]=r;
    else if(tr[R].son[1]==f)tr[R].son[1]=r;
    tr[r].f=R;

    R=x;r=f;
    tr[R].son[w]=r;
    tr[r].f=R;

    update(f);
    update(x);
}
int tmp[310000];
void splay(int x,int rt)
{
    int s=0,i=x;
    while(tr[i].f!=0&&(tr[tr[i].f].son[0]==i||tr[tr[i].f].son[1]==i))
    {
        tmp[++s]=i;
        i=tr[i].f;
    } 
    tmp[++s]=i;
    while(s!=0)
    {
        i=tmp[s];s--;
        if(tr[i].fz==true)reverse(i);
        if(tr[i].ad!=0)add(i);
    }

    while(tr[x].f!=rt&&(tr[tr[x].f].son[0]==x||tr[tr[x].f].son[1]==x))//还有虚边啊！
    {
        int f=tr[x].f,ff=tr[f].f;
        if(ff==rt||(tr[ff].son[0]!=f&&tr[ff].son[1]!=f))
        {
            if(x==tr[f].son[0])rotate(x,1);
            else               rotate(x,0);
        }
        else
        {
                 if(tr[f].son[0]==x&&tr[ff].son[0]==f){rotate(f,1);rotate(x,1);}
            else if(tr[f].son[1]==x&&tr[ff].son[0]==f){rotate(x,0);rotate(x,1);}
            else if(tr[f].son[0]==x&&tr[ff].son[1]==f){rotate(x,1);rotate(x,0);}
            else if(tr[f].son[1]==x&&tr[ff].son[1]==f){rotate(f,0);rotate(x,0);}
        }
    }
}
int n,w[310000];
void make_tree()
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        tr[i].f=0;
        tr[i].mx=tr[i].d=w[i];
        tr[i].c=1;tr[i].n=1;
        tr[i].son[0]=tr[i].son[1]=0;
        tr[i].fz=false;tr[i].ad=0;
    }
}
void access(int x)//访问x 
//还记得树剖的重儿子吗？这是令点x到整棵动态树的根这条路径变成偏爱路径(相当于树剖的重链)，这一条路径就是一棵伸展树。 
{
    int y=0;
    while(x!=0)
    {
        splay(x,0);
        tr[x].son[1]=y;
        if(y!=0)tr[y].f=x;
        y=x;x=tr[x].f;
    }
}
void makeroot(int x)//让x成为当前树的根
{
    access(x);splay(x,0);//因为是链，splay之后只有左孩子(上面y=0) 
    tr[x].fz=1-tr[x].fz;//因为要让x成为整棵树的根，所以x的深度要最小(通过翻转实现),为find_root做准备
}
void link(int x,int y)
{//为什么可以直接用makeroot？？因为判断过x和y的find_root 是否相同，不相同表示x和y是不联通的
    makeroot(x);tr[x].f=y;access(x);//删去access是没有影响的，但从定义上说应该加上 
}
void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    access(y);splay(y,0);
    tr[tr[y].son[0]].f=0;tr[y].son[0]=0;
    update(y);
}
int find_root(int x)//访问完x后，x所属的伸展树的最左端的点就是所在树真正的根，因为伸展树实际意义上就是一条链啊！！ 
{
    access(x);splay(x,0);
    while(tr[x].son[0]!=0)x=tr[x].son[0];
    return x;
}
void increase(int x,int y,int W)//令x，y处于一棵伸展树，y为根，由于是链，直接更新y的ad就行了 
{
    makeroot(x);
    access(y);splay(y,0);
    tr[y].ad+=W;
}
int findmax(int x,int y)//同理，这也是一样的 
{
    makeroot(x);
    access(y);splay(y,0);
    update(y);return tr[y].mx;
}
struct edge
{
    int x,y;
}e[310000];
int main()
{
    freopen("weight.in","r",stdin);
    freopen("weight.out","w",stdout);
    int m,op,x,y,W;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
        make_tree();
        for(int i=1;i<n;i++)
            link(e[i].x,e[i].y);
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",&op);
            if(op==1)
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                if(find_root(x)==find_root(y)||x==y)
                    printf("-1\n");
                else 
                    link(x,y);
            }
            else if(op==2)
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                if(find_root(x)!=find_root(y)||x==y)
                    printf("-1\n");
                else 
                    cut(x,y);
            }
            else if(op==3)
            {
                scanf("%d%d%d",&W,&x,&y);
                if(find_root(x)!=find_root(y))
                    printf("-1\n");
                else 
                    increase(x,y,W);
            }
            else 
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                if(find_root(x)!=find_root(y))
                    printf("-1\n");
                else 
                    printf("%d\n",findmax(x,y));
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}