BZOJ1697: [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序
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【算法】数学置换
【题意】给定n个数,要求通过若干次交换两个数的操作得到排序后的状态,每次交换代价为两数之和,求最小代价。
【题解】
考虑置换的定义:置换就是把n个数做一个全排列。
从原数组到排序数组的映射就是经典的置换,这样的置换一定能分解成循环的乘积。
为什么任意置换都可以这样分解:原数组的每个数要交换到排序位置(有后继),每个数的原位置会有数字来替代(有前驱),故一定构成若干循环节。
循环节内要完成置换,需要按顺序依次替换位置进行len-1次对换(len为循环节长度)。
对于每一循环节内部,最高效的方法就是拿最小的数num来进行len-1次交换,代价为sum-num+(len-1)*num即sum+(len-2)*num。
还有一种方法,是从其它循环节拿一个数字(显然拿全局最小)替换当前循环节最小数完成len-1次对换后再换回去,即sum+(len+1)*min+num。
找到每个循环节然后将两个代价中较小者计入答案。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int maxn=10010; int a[maxn],n,ms,ans=0; bool vis[maxn]; struct cyc{int num,id;}b[maxn]; bool cmp(cyc a,cyc b){return a.num<b.num;} int main(){ scanf("%d",&n); ms=0x3f3f3f3f; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&b[i].num); b[i].id=i; ms=min(ms,b[i].num); } sort(b+1,b+n+1,cmp); for(int i=1;i<=n;i++)a[b[i].id]=i; for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]){ int sum=0,num=0x3f3f3f3f,x=i,len=0; while(!vis[x]){ num=min(num,b[x].num); sum+=b[x].num; vis[x]=1; x=a[x]; len++; } ans+=min(sum+(len-2)*num,sum+num+(len+1)*ms); } printf("%d",ans); return 0; }
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bzoj 1119 [POI2009]SLO && bzoj 1697 [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序——思路(置换)
bzoj1697:[Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序 & bzoj1119:[POI2009]SLO