NOIP2015提高组子串

Posted 2020-10-07 ssttkkl

https://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2679

看到方案数问题直觉就能想到DP，考虑用f(i,j,k)表示A[1...i]取k个子串组成B[1...j]的方案数，发现很难转移，因为不知道之前的方案哪些是还能拼接到结尾的，产生了前效性。

考虑加一维，即

A[1...i]取k个子串组成B[1...j]，且末尾子串还可以继续拼接的方案数为：f(i,j,k,0)={
    拼接上一个子串f(i-1,j-1,k,0)+另开新串f(i-1,j-1,k-1,1) (A[i]==B[j]),
    0 (A[i]!=B[j])
}

A[1...i]取k个子串组成B[1...j]，且末尾子串已经封闭或末尾根本不是子串的方案数为：f(i,j,k,1)=sum{
    拼接上一个子串然后封闭f(i-1,j-1,k,0) (A[i]==B[j]),
    开一个字符的串f(i-1,j-1,k-1,1) (A[i]==B[j]),
    不用这个字符f(i-1,j,k,1)
}
其实就是f(i,j,k,1)=用这个字符然后封闭f(i,j,k,0)+不用这个字符f(i-1,j,k,1)

 

特别的，f(i,0,0,1)=1

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long llint;
llint n, m, kk;
string a, b;
const llint c = 1e9 + 7;
llint dp[2][205][205][2];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> kk >> a >> b;
    // f(i,j,k,0) = a[i]==b[j] ? f(i-1,j-1,k,0)+f(i-1,j-1,k-1,1) : 0
    // f(i,j,k,1) = f(i,j,k,0) + f(i-1,j,k,1)
    dp[0][0][0][1] = dp[1][0][0][1] = 1; // f(i,0,0,1)=1
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            for (int k = 1; k <= kk; k++)
            {
                dp[i & 1][j][k][0] = (a[i - 1] == b[j - 1]) ? dp[(i - 1) & 1][j - 1][k][0] + dp[(i - 1) & 1][j - 1][k - 1][1] : 0;
                dp[i & 1][j][k][1] = dp[i & 1][j][k][0] + dp[(i - 1) & 1][j][k][1];

                while (dp[i & 1][j][k][0] >= c)
                    dp[i & 1][j][k][0] -= c;
                while (dp[i & 1][j][k][1] >= c)
                    dp[i & 1][j][k][1] -= c;
            }
        }
    }
    cout << dp[n & 1][m][kk][1] << endl;
    return 0;
}