详解MVP矩阵之ViewMatrix

Posted 2020-06-30 拳四郎

矩阵推导

ViewMatrix用于直接将World坐标系下的坐标转换到Camera坐标系下。已知相机的坐标系，还有相机在世界空间下的坐标.就可以求出ViewMatrix，下面进行具体推导。

令UVN为相机坐标系下的三个基，，对于一个相机来说，它在开始的时候和世界坐标系是重合的，用户控制相机在世界空间中移动之后，相机的状态可以用两个属性来描述——朝向和位置。也就是说，有了这两个属性，一个相机模型在世界中的状态就确定了。而这两个属性，我们用变换的理论来描述，就是旋转和平移。可以想象，对于世界中的任何一个相机状态，我们都可以把它看成是：相机先围绕自身基原点旋转一定的角度，然后平移到世界空间的某个地方。下图展示了这个过程

图一 . 相机的变换与逆变换

图中，红色是相机的基，而黑色是世界的基，也就是参考系。小人是世界中的一个物体。相机在移动之前，两个基是重合的。当相机在屏幕中定位时，它首先会进行朝向的确定——旋转，然后进行位置的确定——平移。图中的Rotation和Translation两步就是相机定位时所发生的变换。可以看到相机相对于小人的运动。而当进行相机变换的时候，小人应该从世界基变换到相机的基里面。这样，他应该进行一个相机定位的逆定位，先逆平移小人和相机，然后再逆旋转小人和相机，最后相机归位，小人随相机变到了相机空间。这是由Inverse Translation和Inverse Rotation两个步骤完成的，这两个步骤就是相机变换。现在我们推导这个变换。我们把关系写出来，相机本身的变换C包括两个元素

C = TR

其中T是平移变换，R是旋转变换。而相机变换是相机本身变换的逆变换

这个C^-1就是我们要求出的相机变换。其中T^-1很容易求出，即

R^(-1)比较难求出，这里用到了正交基一些知识，可以参考下碰撞检测之Ray-Cylinder检测前面关于正交基的部分。

当相机变换进行完Inverse Translation这一步之后，相机的原点和世界原点就重合了，也就是处理完了关于平移的变换。接下来我们要做的是逆旋转，而其实逆旋转的目的，就是要得到目前世界坐标中经过逆平移的小人在相机坐标系中的坐标。

由坐标转换公式

对于世界坐标中的已经经过逆平移的坐标v’，它在相机坐标系R中的坐标是v’’，而相机坐标系就是

则相机变换的完整公式就是

其中v是小人在世界空间中的坐标，v’’是小人在相机空间中的坐标。则相机变换矩阵就是

常见的求ViewMatrix的情况有三种，一种是用LookAt函数，第二种是类似FPS游戏中通过pitch和yaw来算，还有一种是类似轨迹球的算法。

最后的方法都是转化为求出相机的坐标系的基。

Look At Camera

这里参考是左手坐标系，而且在相机空间，相机的forward是Z轴的负方向，和Unity还有OpenGL一致。

图二 . 相机的左手坐标系

如下图，这种求法需要知道摄像机的位置 eye，一个up向量（global）,还有摄像机的观察点at

图三 . LookAt函数模型

Matrix4x4 LookAt(const Vector3& eye, const Vector3& target, const Vector3& up)
{
	Vector3 z((eye - target).normalized());
	Vector3 x((Vector3::Cross(z, up).normalized()));
	Vector3 y(Vector3::Cross(x, z));

	Matrix4x4 result;

	result[0] = x.x;
	result[4] = x.y;
	result[8] = x.z;
	result[12] = -Vector3::Dot(x, eye);

	result[1] = y.x;
	result[5] = y.y;
	result[9] = y.z;
	result[13] = -Vector3::Dot(y, eye);

	result[2] = z.x;
	result[6] = z.y;
	result[10] = z.z;
	result[14] = -Vector3::Dot(z, eye);

	result[3] = result[7] = result[11] = 0.0f;
	result[15] = 1.0f;
	return result;
}

算例

//C++
qDebug() << Transform::LookAt(Vector3(1, 2, 3), Vector3(0, 10, 0), Vector3::up);

图四 . LookAt函数计算结果

//Unity
transform.position = new Vector3(1, 2, 3);
transform.LookAt(new Vector3(0, 10, 0), Vector3.up);
Debug.Log(Camera.main.worldToCameraMatrix);

图五 . Unity中的计算结果

（貌似Unity中的Transform.LookAt函数是直接修改的Camera的Rotation？）

FPS Camera

通过之前的结论

假设原始的坐标系为x-(1,0,0), y-(0,1,0), z(0,0,1),这个坐标系经过一个旋转矩阵Matrix旋转之后，新的坐标系就是这个旋转矩阵的转置三个列向量。

其实这里要求的只是旋转矩阵的转置。

注意相机的Z方向并不是相机正对的方向，而是相机的背面。

Matrix4x4 Transform::FPSView(const Vector3& eye, Quaternion rotation)
{
	Matrix4x4 rotMatrix = rotation.GetRotMatrix().transpose();
	Vector3 x(rotMatrix[0], rotMatrix[4], rotMatrix[8]);
	Vector3 y(rotMatrix[1], rotMatrix[5], rotMatrix[9]);
	Vector3 z(-rotMatrix[2], -rotMatrix[6], -rotMatrix[10]);

	Matrix4x4 result;

	result[0] = x.x;
	result[4] = x.y;
	result[8] = x.z;
	result[12] = -Vector3::Dot(x, eye);

	result[1] = y.x;
	result[5] = y.y;
	result[9] = y.z;
	result[13] = -Vector3::Dot(y, eye);

	result[2] = z.x;
	result[6] = z.y;
	result[10] = z.z;
	result[14] = -Vector3::Dot(z, eye);

	result[3] = result[7] = result[11] = 0.0f;
	result[15] = 1.0f;
	return result;
}

算例

//C++
qDebug() << Transform::FPSView(Vector3(1,2,3), Quaternion::Euler(30, 45, 60));

结果

图六 . FPV函数计算结果

//unity
transform.position = new Vector3(1, 2, 3);
transform.rotation = Quaternion.Euler(30, 45, 60);
Debug.Log(Camera.main.worldToCameraMatrix);

图七 . Unity中运行结果

参考

Understanding the View Matrix - http://www.3dgep.com/understanding-the-view-matrix/

Tutorial 3 : Matrices - http://www.opengl-tutorial.org/beginners-tutorials/tutorial-3-matrices/

OpenGL Transformation - http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html

推导相机变换矩阵 - http://blog.csdn.net/popy007/article/details/5120158

链接

详解MVP矩阵之齐次坐标和ModelMatrix

详解MVP矩阵之齐次坐标和ViewMatrix

详解MVP矩阵之齐次坐标和ProjectionMatrix