知识点整理--组合数学

Posted 2020-10-07 BK-Edwina

定义（#86debe）

　　组合：C(n,m)表示从n个元素中，取任意的m个元素的方案数。

　　定义式：  　　   递推式：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

　　排列：A(n,m)表示从n个元素中，取任意的m个元素并排列好的方案数

常用公式

1.　C(n,m)=C(n,n-m)

2.　∑C(n,i)=2^n

　　证明：从n个元素中任意取i个(0<=i<=n)的所有不同方案。

　　　　　首先，∑C(n,i)表示从n个元素中任意取0个的所有不同取法+从n个元素中任意取1个的所有不同取法+从n个元素中任意取2个的所有不同取法+……+从n个元素中任意取n个的所有不同取法的总和。

　　　　　其次考虑对于n个元素中的任意一个，记作A，则在每次取时，A都有取或不取两种选择，并对于A的选择是独立的，与其他元素无关。所以∑C(n,i)=2^n。

3.　∑i*C(n,i)=n*2^(n-1)

　　意义：i*C(n,i) 表示先从n个元素里取出i个元素，再从这i个元素中取出一个元素。

　　证明：参考公式2

4.　∑(i<=n)C(i,m)=C(n+1,m+1)

　　放到杨辉三角上就是紫色部分的和等于其右下角的值（粉色圈里）

 

5.　∑(i<=k)C(n,i)*C(m,k-i)=C(n+m,k)

卡特兰数

　　括号匹配：包含2n个括号的合法括号序列有多少个

　　　　将左括号看作0，右括号看作1，本问题就变成了：求序列任意前缀0的个数大于或等于1的个数

　　　　那么对于一个非法序列，一定存在某个最短前缀中，1的个数比0的个数多1。此时我们将此前缀01取反，剩下的不变，最后得到序列中有n+1个0和n-1个1。

　　　　得到的方案数C(2n,n-1)

　　　　另外，此过程是可逆的，也就意味着对于合法序列，我们可以将其01取反变成非法序列。

　　通过网格：从坐标(0,0)到(n,n)，求不跨过对角线的方案数。

　　　　将向右走记作0，向上走记作1，同上。

　　三角划分：给定一个凸N边形，求将其三角形化的方案数（划分成N-2个三角形）

　　　　f 是方案数，h是卡特兰数。

　　　　f(n)=h(n-2) (n=2，3，4，……)

　　公式：

　　1.递推式：

　　　　　　

　　2.另类递推式：

　　　　 　　

　　3.递推式的解：

　　　　　　

　　4.另类递推式的解：

　　　　　　

　　5.打表结果：

　　　　1，1，2，5，14，42，132，429，1430……

　　例题：bzoj1485--求catalan数第n项取模

Lucas定理

(待更新补充……）