tyvj1520 树的直径

Posted 2020-10-07 Emine

描述 Description

树的直径，即这棵树中距离最远的两个结点的距离。每两个相邻的结点的距离为1，即父亲结点与儿子结点或儿子结点与父子结点之间的距离为1.有趣的是，从树的任意一个结点a出发，走到距离最远的结点b，再从结点b出发，能够走的最远距离，就是树的直径。树中相邻两个结点的距离为1。你的任务是：给定一棵树，求这棵树中距离最远的两个结点的距离。

输入格式 InputFormat

输入共n行
第一行是一个正整数n，表示这棵树的结点数
接下来的n-1行，每行三个正整数a,b,w。表示结点a和结点b之间有一条边，长度为w
数据保证一定是一棵树，不必判错。

输出格式 OutputFormat

输出共一行
第一行仅一个数，表示这棵树的最远距离

样例输入 SampleInput

4
1 2 10
1 3 12
1 4 15

样例输出 SampleOutput

27

数据范围和注释 Hint

10%的数据满足1<=n<=5
40%的数据满足1<=n<=100
100%的数据满足1<=n<=10000 1<=a,b<=n 1<=w<=10000

题解

此题求树上最长链，即树的直径，有很多方法

可以如题中所说，用两次bfs，求出1的最远点X，再求X的最远点Y，XY即为直径

这个证明比较容易，大致可以分三步

先证明1，X一定和直径有交

再证明X一定是直径的一个端点

那么找X的最远点Y，XY即为直径

或者可以采用dp做法，基于直径为某个点到其不同子树叶子的最长链+次长链

BFS

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<vector>
 6 #define ll long long
 7 using namespace std;
 8 ll read(){
 9     int x=0,f=1;char ch=getchar();
10     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){ if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
11     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){ x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
12     return x*f;
13 }
14 int X,n,q[100005],d[100005];
15 vector<int> e[100005],len[100005];
16 char ch[5];
17 void bfs(int x){
18     X=0;
19     int head=0,tail=1;
20     q[0]=x;
21     memset(d,0,sizeof(d));
22     while(head!=tail){
23         int now=q[head];head++;
24         if(d[now]>d[X]) X=now;
25         for(int i=0;i<e[now].size();i++){
26             if(!d[e[now][i]]&&e[now][i]!=x){
27                 d[e[now][i]]=d[now]+len[now][i];
28                 q[tail++]=e[now][i];
29             }
30         }
31     }    
32 }
33 int main(){
34     n=read();
35     for(int i=1;i<n;i++){
36         int u=read(),v=read(),w=read();
37         e[u].push_back(v); len[u].push_back(w);
38         e[v].push_back(u); len[v].push_back(w);
39     }
40     bfs(1); bfs(X);
41     printf("%d\n",d[X]);
42     return 0;
43 }

DP

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #define maxn 10005
 6 #define inf 0x7fffffff
 7 using namespace std;
 8 int n,cnt,ans;
 9 int f1[maxn],f2[maxn],last[maxn];  //f1求最长链，f2求次长链
10 struct edge{
11     int to,next,v;
12 }e[maxn<<1];
13 void add(int u,int v,int w){
14     e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;e[cnt].v=w;
15 }
16 void dp(int x,int fa){
17     for(int i=last[x];i;i=e[i].next){
18         int y=e[i].to;
19         if(y==fa) continue;
20         dp(y,x);
21         if(f1[y]+e[i].v>f1[x]){
22             f2[x]=f1[x];
23             f1[x]=f1[y]+e[i].v;
24         }
25         else f2[x]=max(f2[x],f1[y]+e[i].v);
26     }
27     ans=max(f1[x]+f2[x],ans);
28 }
29 int main(){
30     ios::sync_with_stdio(false);
31     cin>>n;
32     for(int i=1;i<n;i++){
33         int u,v,w;
34         cin>>u>>v>>w;
35         add(u,v,w); add(v,u,w);
36     }
37     dp(1,0);
38     cout<<ans<<endl;
39     return 0;
40 }