[GDKOI 2015] 青蛙跳环

Posted 2020-10-07

题意

　　给定 n 个标号为 0, 1, 2, ..., n-1 的点.

　　一只青蛙在点 i 能够跳往 (2 * i) % n 和 (2 * i + 1) % n .

　　若该青蛙从点 0 出发, 是否能够跳出一条哈密顿回路, 如果可以, 还要找到字典序最大的.

　　2 <= N <= 10000 .

 

分析

　　我们先研究一些小的情形.

　　暴力打表发现, 当 n 为奇数时, 一定无解.

　　接下来保证 n 为偶数.

 

　　当 n 为偶数时, 2 * (n / 2) = 0 (mod n) .

　　所以 i 和 i + n / 2 能够跳到的点是相同的, 我们考虑把它们缩点.

　　以 n = 8 为例, 画出这样一个图.

　　　　　　　　　　----------------------------------------　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　↓ 　　　　　　　　　　　　↑

　　　　　　　　　---------　　　　--------　　　  --------　　　　---------

　　　←←←　　　|　0　|　　　　|　1　|　<- 　|　2　|　　　  |　 3　|      →→→

　　　|   　　　　　|　　  |　　->   |　　  |　->　|　　  |　<-　  |　　  |　　　　   |

　　　→→→　　　|　4　|　　　　|　5　|　　　|　6　|　　　  |　7　|　　 ←←←

　　　　　　　　　---------　　　　----------　　　--------　　　　----------

　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　　　　　　↑

　　　　　　　　　　　　　　　　　　----------------------------------------

　　发现每个点不仅有且仅有两条出边, 而且有且仅有两条入边.

　　而我们的目标是每个点经过两次, 所以我们的目标相当于是经过所有的边, 直接求欧拉回路.

 

实现

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cctype>
 5 
 6 const int N = 10005;
 7 
 8 int n, Lis[N], tot;
 9 bool v[N];
10 
11 void Dfs(int x) {
12     if (!v[x << 1 | 1]) {
13         v[x << 1 | 1] = true;
14         Dfs((x << 1 | 1) % (n >> 1));
15         Lis[++tot] = x << 1 | 1;
16     }
17     if (!v[x << 1]) {
18         v[x << 1] = true;
19         Dfs((x << 1) % (n >> 1));
20         Lis[++tot] = x << 1;
21     }
22 }
23 
24 int main(void) {
25     #ifndef ONLINE_JUDGE
26         freopen("frog.in", "r", stdin);
27     #endif
28     
29     scanf("%d", &n);
30     if (n & 1) return puts("-1"), 0;
31     
32     Dfs(0), Lis[++tot] = 0;
33     while (tot > 0) printf("%d ", Lis[tot--]); puts("");
34     
35     return 0;
36 }