noip模拟赛 数列

Posted 2020-10-07 zbtrs

题目描述

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

 

输出格式：

 

每行输出一个非负整数表示答案。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3
6
8
10

输出样例#1：

4
9
19

说明

对于30%的数据 n<=100；

对于60%的数据 n<=2*10^7；

对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；

分析：dfs有30分，记忆化搜索有60分，剩下40分要怎么得到呢？求数列第n项可以用矩阵来优化.每一个f(i) (i > 3)都能表示成a*f(1) + b*f(2) + c*f(3),利用矩阵相乘的定义，构造矩阵,由于不方便打出来，可以在纸上画一下：

f(n)         1  0  1       f(n-1)

f(n-1)   =   1  0  0   *   f(n-2)

f(n-2)　　　 0  1  0       f(n-3)

事实上我们只需要第二个矩阵的n-3次方就好了，结果就是所得矩阵第一行的三个数之和.

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mod = 1000000007;

long long T,n,op[4][4],a[4][4],b[4][4];
long long temp[4][4],ans;

void init()
{
    op[1][1] = 1;
    op[1][2] = 0;
    op[1][3] = 1;
    op[2][1] = 1;
    op[2][2] = 0;
    op[2][3] = 0;
    op[3][1] = 0;
    op[3][2] = 1;
    op[3][3] = 0;
}

void mul1()
{
    memset(temp, 0, sizeof(temp));
    for (int k = 1; k <= 3; k++)
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
        if (a[i][k])
        for (int j = 1; j <= 3; j++)
        temp[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
        for (int j = 1; j <= 3; j++)
            if (temp[i][j] < mod)
                a[i][j] = temp[i][j];
            else
                a[i][j] = temp[i][j] % mod;
}

void mul2()
{
    memset(temp, 0, sizeof(temp));
    for (int k = 1; k <= 3; k++)
        for (int i = 1; i <= 3; i++)
            if (b[i][k])
                for (int j = 1; j <= 3; j++)
                    temp[i][j] += b[i][k] * b[k][j];
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
        for (int j = 1; j <= 3; j++)
            if (temp[i][j] < mod)
                b[i][j] = temp[i][j];
            else
                b[i][j] = temp[i][j] % mod;
}

int main()
{
    scanf("%lld", &T);
    init();
    while (T--)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(b, 0, sizeof(b));
        scanf("%lld", &n);
        if (n <= 3)
            printf("1\n");
        else
        {
            n -= 3;
            a[1][1] = a[2][2] = a[3][3] = 1;
            memcpy(b, op, sizeof(b));
            while (n)
            {
                if (n & 1)
                    mul1();
                n >>= 1;
                mul2();
            }
            ans = (a[1][1] + a[1][2] + a[1][3]) % mod;
            printf("%lld\n", ans);
        }
    }
    

    return 0;
}