转载：数据结构 二项队列

Posted 2020-10-07 学习笔记

0）引论

左堆的合并，插入，删除最小的时间复杂度为O(logN)。二项队列就是为了对这些结果进一步提高的一种数据结构。利用二项队列，这三种操作的最坏时间复杂度为O(logN)，但是插入的平均时间复杂度为O(1)。

1）二项队列

二项队列不是一棵树，它是一个森林，由一组堆序的树组成的深林，叫做二项队列。

二项队列有几个性质比较重要

（a） 每一颗树都是一个有约束的堆序树，叫做二项树

（b） 高度为k的第k个二项树Bk由一个根节点和B0, B1, .......B(k-1)构成

（c） 高度为k的二项树的结点个数为2^k

我们可以用二项树的结合表示任意大小的优先队列。例如，大小为13的优先队列就可以用B3，B2，B0来表示，二进制的表示为1101。对此，我深表怀疑二项队列是不是受二进制的启发而产生的。

 

 

2）二项队列的操作

查找最小项：只需要查找每个二项树的根节点就可以了，因此时间复杂度为O(logN)。

合并：通过把两个队列相加在一起完成。因为有O(logN)棵树，所以合并的时间复杂度也是O(logN)。

插入：插入也是一种合并，只不过是把插入的结点当做B0。虽然感觉插入的时间复杂度是O(logN)，但是实际是O(1)，因为有一定的概率是被插入的二项队列没有B0。

删除最小：在根结点找到最小值，然后把最小值所在的树单独拿出分列为二项队列，然后把这个新的二项队列与原二项队列进行合并。每一个过程的时间复杂度为O(logN)。故加起来的时间复杂度仍为O(logN)。

这些操作归根结底是合并Merge。

 

 

3）二项队列的代码实现

二项队列声明：

typedef struct BinNode *Position;  
typedef struct BinNode *BinTree;  
typedef struct Collection *BinQueue;  
struct BinNode  
{  
    ElementType Element;  
    Position LeftChild;  
    Position Sibling;  
};  
struct Collection  
{  
    int CurrentSize;  
    BinTree TheTrees[MaxTree];  
}  

 

 

首先定义了树BinNode，然后定义了森林Collection。

下图是TheTrees，数组里装的是指向个个二项树的指针。以及二项队列在上面定义的结构里面的表示方式。

可以看出，根节点仅指向一个有最多子树的子结点，由这个结点指向各个兄弟节点，所以访问必然是逐级访问。

 

 

注意：

指针数组的大小一般至少是二项队列中二项树数目×2+1;

数组第 i 号索引处，存储的是高度为 i 的二项树。如，第0号索引，存储高度为0的二项树，该二项树只有一个结点，结点权值为13;

每棵二项树由左孩子右兄弟的链表保存;

诸孩子按照它们子树的大小排序。

合并树：

合并树本质是指针的变动。当然要对两个二项树做好变换。

1. BinTree CombineTree(BinTree T1,BinTree T2)  
2. {  
3.     if(T1->Element>T2->Element)  
4.         return CombineTree(T2,T1);  
5.     T2->Sibling = T1->LeftChild;  
6.     T1->LeftChild = T2;  
7.     return T1;  
8. }