MT642017联赛一试不等式的一个加强练习

Posted 2020-10-07 青春的记忆

已知$x_1,x_2,x_3\ge0,x_1+x_2+x_3=1$求

$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$的最大值。

解答：$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$

$$=\frac{1}{6}(x_1+3x_2+5x_3)(6x_1+2x_2+\frac{6}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$

$$\le\frac{1}{6}(x_1+3x_2+5x_3)(6x_1+2x_2+2x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$

$$\le\frac{1}{6}\left(\frac{x_1+3x_2+5x_3+6x_1+2x_2+2x_3+x_1+x_3+3x_2}{3}\right)^3=\frac{256}{81}$$

当$x_1=\frac{1}{6}\land x_2=\frac{5}{6}\land x_3=0$时等号成立.