二叉排序树

Posted 2020-10-07 Rainydayfmb

一.二叉排序树产生原因

　　为什么要有二叉排序树这种数据结构的产生？对于一个既要排序、又要支持高效的查找、插入和删除操作的数据元素集合，将其组织成一个什么样的数据结构能够满足要求？我们对于排序顺序表、排序单链表和散列表这几种数据结构进行分析：

　　(1)排序顺序表，可以采用折半查找法，时间效率为O（log2n）;插入和删除的操作时间复杂度为O（n）,数据移动量大，效率较低。

　　(2)排序单链表，顺序查找的时间效率为O（n）,不能采用折半查找算法；插入和删除操作的时间复杂度为O（n）,虽然没有数据移动但因为查询找效率低下，使得插入和删除的效率也较低。

　　(3)散列表，虽然查找、插入和删除操作的效率较高，但是散列表不具有排序特性。

　　上述几种数据结构不能满足问题的要求。我们一树结构来研究这个问题。

　　二叉排序树是一种既支持排序、又支持高效的查找、插入和删除操作的数据组织方案，她的查找等操作效率可达到O（log2n）。

　　在一棵二叉树中查找一个节点，需要在遍历二叉树的过程中对节点逐个进行比较，这是顺序查找算法，查找效率为O（n）。如果一颗二叉树是排序的，则没经过一次比较，根据比较结果，可在当前节点的左子树和右子树中选择其一继续，从而将查找范围缩小了一半，        一次查找只需要经过从根到某节点的一条路径就可获得查找结果，比较次数最多是二叉树的高度，查找效率为O(log2n)。远低于O（n）.

二、二叉排序树的定义

　　二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树;

　　(1)每个结点都有一个作为查找一句的关键字，所有结点的关键字互不相同。

　　(2)若一个结点的左子树不空，则左子树上所有结点的关键字均小于这个结点的关键字；若一个结点的右子树不为空，则右子树上所有结点的关键字均大于这个结点的关键字。

　　(3)每个结点的左、右子树也分别为二叉排序树。

　　一个二叉排序树中序遍历得到的关键字是升序的。

三、二叉树的查找

　　在一棵二叉排序树中，查找关键字key元素结点，算法描述如下：

　　(1)从根节点开始，设p指向根节点

　　(2)将p结点的关键字与key比较，若两者相等，则查找成功；若key较小，则在p的左子树中继续查找；若key较大，则在p的右子树中继续查找。

　　(3)重复执行上一步，直到查找成功或p为空。若p为空，则查找不成功。

四、二叉排序树的插入

　　一棵二叉排序树，插入一个结点之后必须仍然是二叉排序树。每插入一个结点，首先需要找到该结点在二叉排序树中的插入位置，若具有相同关键字的结点已经在二叉排序树中，则不插入；否则将新结点作为椰子结点连接在其查找不成功的一条路径之尾，

该路径从根结点到某个原叶子结点。因此，给定一棵二叉树，一个结点的插入位置是唯一的。

五、二叉排序树的删除

　　在二拆排序树中删除一个结点，首先查找该节点，若存在，则根据结点的度对二叉排序树进行不同程度的调整，使删除结点后的二叉树仍然是二叉排序树。

　　设p指向待删除的结点，parent指向p的父结点。根据p的维度不同，二叉排序树的删除算法分以下三种算法。

　　(1)p是叶子结点。若p是parent的左孩子，删除p结点并设置parent的left链为空；若p是右孩子，删除p结点并设置parent的right链为空。

　　(2)p是1度结点，删除p结点并用p的孩子填补作为parent的孩子，共有四中情况。

　　　　a.若p是parent的左孩子且p有左孩子，设置parent的left链指向p的左孩子。

　　　　b.若p是parent的左孩子且p有右孩子，设置parent的left链指向p的右孩子。

　　　　c.若p是parent的右孩子且p有左孩子，设置parent的right链指向p的左孩子。

　　　　d.若p是parent的右孩子且p有右孩子，设置parent的right链指向p的右孩子。

　　(3)p是2度结点，不直接删除p结点，而是先用p的中根次序下的后继空额到吗insucc值代替p结点值，再删除insucc结点。这样将删除2度结点问题转换为删除1度结点或叶子结点，使得对二叉排序树的调整减少到最小程度。