树2二叉树

Posted 2020-10-07

二叉树简介

---------------------------注：本文所用的术语定义均来自国外大学和计算机文献使用的定义，非国内教材。------------------------------

二叉树也是一种树，它特殊在：

1、每个结点的孩子最多只能是2，即二叉树中不存在度大于2的结点。

2、每个结点的孩子结点区分左孩子和又孩子，即便是只有1个孩子结点，也分左孩子和右孩子。

 

注意：

1、二叉树是 rooted tree。即二叉树必须指定，且固定有一个唯一的root结点。这话听起来很奇怪：只要树不为空，肯定有root结点啊？可是，一般情况下的树，他的每一个结点都可以当做root去看待，只不过我们脑袋里总把一棵树的图形固定去理解而已。但是二叉树的root结点必须是固定唯一，明确指出的。

 

2、二叉树是有序树(ordered tree)。这点对于啃过国内大学教材的朋友来说就很有争议。我的理解是：二叉树中的孩子是区分左右的，左右不应该和次序混为一谈，只不过二叉树在实现时，都是通过按有序的方式去完成的。

 

 

二叉树的性质

1、二叉树的许多性质都和2有关，确切的说是以2为公比，首项为1的等比数列有关。

2、二叉树的第i层上的节点数最多为 2^i-1 个 （i>=1）           （数列的第i项）

 

3、k层的二叉树至多有2^k - 1个结点(k≥1)。　　　               （当每层都达到做多结点时，达到最大值 。数列的前k项和）

 

4、在任意一棵二叉树中，若终端（叶子）结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则有：n0=n2+1。

    要证明这个性质，就要从点和线的方面去分析。

    设：度为2的结点个数有n2个，度为1的结点有n1个，度为0  的叶子结点有n0个，树的总结点为V个。

         树的总的 边 的个数为E。

        

        ①  V = n2 + n1 + n0

        ②  E= V - 1                            除了root结点，其他结点都是由头顶上的一条边引出来的。

        ③  E= 2*n2 + n1                   度为2的结点，必顶会向下引出2条边， 同理，度为1的结点会引出1条。

 

      结合3个式子消元得：n0 = n2 + 1

 

5、一个有n个结点的二叉树，其层次数L 满足不等式

 

很好理解。当这个二叉树是完全二叉树时，其层次数最小，当每一层仅有1个结点时，层次数最大。

 

 

一般二叉树的存储实现

1、使用数组作为内部存储。

这种存储方法只适合完全二叉树，如果是一般二叉树，会造成空间浪费。首先我们需要了解一下当对完全二叉树使用顺序存储时的细节。

给完全二叉树的结点，从上到下，从左到右依次从0开始编号作为这个结点的索引，且索引为i的结点，存储在数组下标为i的地方。则：

 

如果i==0，则它是root结点。

如果i >0 ，则他的父结点的索引为:

 

如果 2*(i+1) > n ，则它无左孩子。

       2*(i+1) <=n ,  则他的左孩子的索引为  2i +1

 

如果 2*(i+1)+1 >  n，则他无右孩子。

        2*(i+1)+1 <=  n，则它的右孩子的索引为 2i+2

 

可以发现，使用数组存储完全二叉树是非常高效的，因为结点之间的关系都暗含在索引之中了，无需额外的指针，且数组的随机访问速度也很快。

如过一个一般二叉树要使用这种方法存储，先要填补为一个完全二叉树。

 

 

 上图可以看出，填充浪费一大半的数组空间，所以，一般二叉树不会使用这种存储策略。

 

 

2、链式存储结构：适合用于存储一般形态的二叉树。链式存储更加通用。但是如果是完全二叉树，使用顺序存储更佳。缺点是指针域占用的空间较多。

题目：采用这种设计时，若总结点数为N，则会有多少个空指针域？ 答：N+2个。

因为N个结点的树，会有N-1个边，3N个指针域，而每一条边会“消灭”2个空指针域。则空指针域 = 3N-2(N-1) = N+2

 

 

 

有时候我们无需知道一个结点的父结点，则结点的设计可以去掉parent域。

题目：采用这种设计时，若总结点数为N，则会有多少个空指针域？答：N+1

因为N个结点的树，会有N-1个边，2N个指针域，而每一条边会“消灭”1个空指针域。则空指针域 = 2N-(N-1) = N+1