51 Nod 1247 可能的路径（数学）

Posted 2020-10-07

题目链接：点我点我

题意：中文题

题解：一位大佬写了一段很精妙的证明（转）：

给个不太严谨的证明思路：

第一步：证明路径可逆，也就是如果(a, b) -> (x, y)可行，则(x, y) - > (a, b)可行

这个比较直观，只需要分别由(a +ｂ, b)  (a, a + b), (a - b, b), (a, a - b)推回(a, b)即可：

例如：(a, a - b) - > (b, a - b) - > (b, a) -> (a + b, a) - > (a + b, b) -> (a, b)

          (a, a + b)->(2a + b, a + b) - > (2a + b, a)->(a + b, a) ->(a+b, b) ->(a, b)

注意这里也顺手说明了(a, b)->(b, a)可行

第二步：既然路径可逆，那题目的可以这样改写：是否存在点(m, n)使得(a, b) -> (m, n)可行且，(x, y)->(m, n)可行

    　　　因为(a, b) -> (b, a)可行,则不失一般性，可假设：a > b

              可以这样逐次推导：(a, b) -> (a - b, b) -> (a - 2b, b)-> ... ->(a - nb, b)，其中, n = a / b， 则，改写一下：

               (a, b) - > (a % b, b) ->(b, a % b)

OrzOrz...，总结一下就是证明路径可逆，让（a,b）点和（x,y）点到中间的某个点，然后转成GCD，如果两个点GCD相同，就说明可以在中间某个点相遇，符合条件。

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long LL;
 6 LL gcd(LL a,LL b){
 7     return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
 8 }
 9 
10 int main(){
11     int t;
12     LL a,b,x,y;
13     cin>>t;
14     while(t--){
15         cin>>a>>b>>x>>y;
16         if(gcd(a,b)==gcd(x,y)) cout<<"Yes"<<endl;
17         else cout<<"No"<<endl;
18     }
19     
20     return 0;
21 }