最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最小生成树-Prim算法和Kruskal算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Prim算法

 

1.概览

普里姆算法 (Prim 算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点 英语 : Vertex (graph theory) ) ,且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克 英语 : Vojtěch Jarník ) 发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆 英语 : Robert C. Prim ) 独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;

2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;

3).重复下列操作,直到Vnew = V:

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew 中的元素,而v不在Vnew 集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);

b.将v加入集合Vnew 中,将<u, v>边加入集合Enew 中;

4).输出:使用集合Vnew 和Enew 来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

 

图例说明不可选可选已选(Vnew )
 

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -

顶点D 被任意选为起始点。顶点A 、B 、E 和F 通过单条边与D 相连。A 是距离D 最近的顶点,因此将A 及对应边AD 以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
 

下一个顶点为距离D 或A 最近的顶点。B 距D 为9,距A 为7,E 为15,F 为6。因此,F 距D 或A 最近,因此将顶点F 与相应边DF 以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
算法继续重复上面的步骤。距离A 为7的顶点B 被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
 

在当前情况下,可以在C 、E 与G 间进行选择。C 距B 为8,E 距B 为7,G 距F 为11。E 最近,因此将顶点E 与相应边BE 高亮表示。 C, E, G A, D, F, B
 

这里,可供选择的顶点只有C 和G 。C 距E 为5,G 距E 为9,故选取C ,并与边EC 一同高亮表示。 C, G A, D, F, B, E

顶点G 是唯一剩下的顶点,它距F 为11,距E 为9,E 最近,故高亮表示G 及相应边EG 。 G A, D, F, B, E, C

现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法:假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin 使得cost(Gmin )<cost(G0 )   则在Gmin 中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0 中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin )

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立,命题得证.

 

5.时间复杂度

这里记顶点数v,边数e

邻接矩阵:O(v2 )                 邻接表:O(elog2 v)

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法 是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点,e个边

2).新建图Graphnew ,Graphnew 中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew 中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graphnew 中

 

图例描述:

首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边 

将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。

下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右:

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础:

n=1,显然能够找到最小生成树。

归纳过程:

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中,我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v\',把原来接在u和v的边都接到v\'上去,这样就能够得到一个k阶图G\'(u,v的合并是k+1少一条边),G\'最小生成树T\'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T\'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法,如果T\'+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T\'+{<u,v>}) 。显然T应该包含<u,v>,否则,可以用<u,v>加入到T中,形成一个环,删除环上原有的任意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>},是G\'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T\') ,也就是W(T)<=W(T\')+W(<u,v>)=W(T\'+{<u,v>}), 产生了矛盾。于是假设不成立,T\'+{<u,v>}是G的最小生成树,Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法,Kruskal算法得证。

时间复杂度:elog2 e  e为图中的边数。

 

以上是关于最小生成树-Prim算法和Kruskal算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

prim和kruscal算法得到的最小生成树是不是一样

最小生成树Prim算法和Kruskal算法

Prim算法和Kruskal算法求最小生成树

Prim算法和Kruskal算法(图论中的最小生成树算法)

[图] 最小生成树-Prime算法和Kruskal算法

图论最小生成树Prim和Kruskal算法