最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

Posted 2020-10-07

Prim算法

 

1.概览

普里姆算法 （Prim 算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点 （英语 ： Vertex (graph theory) ） ，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克 （英语 ： Vojtěch Jarník ） 发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆 （英语 ： Robert C. Prim ） 独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new 中的元素，而v不在V_new 集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new 中，将<u, v>边加入集合E_new 中；

4).输出：使用集合V_new 和E_new 来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

 

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew ）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D 被任意选为起始点。顶点A 、B 、E 和F 通过单条边与D 相连。A 是距离D 最近的顶点，因此将A 及对应边AD 以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D 或A 最近的顶点。B 距D 为9，距A 为7，E 为15，F 为6。因此，F 距D 或A 最近，因此将顶点F 与相应边DF 以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A 为7的顶点B 被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C 、E 与G 间进行选择。C 距B 为8，E 距B 为7，G 距F 为11。E 最近，因此将顶点E 与相应边BE 高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C 和G 。C 距E 为5，G 距E 为9，故选取C ，并与边EC 一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G 是唯一剩下的顶点，它距F 为11，距E 为9，E 最近，故高亮表示G 及相应边EG 。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min 使得cost(G_min )<cost(G₀ )   则在G_min 中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀ 中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min )

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v² )                 邻接表:O(elog₂ v)

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法 是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new ，Graph_new 中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new 中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new 中

 

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v\'，把原来接在u和v的边都接到v\'上去，这样就能够得到一个k阶图G\'(u,v的合并是k+1少一条边)，G\'最小生成树T\'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T\'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T\'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T\'+{<u,v>}) 。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G\'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T\') ，也就是W(T)<=W(T\')+W(<u,v>)=W(T\'+{<u,v>})， 产生了矛盾。于是假设不成立，T\'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

时间复杂度：elog₂ e  e为图中的边数。