bzoj1485 [HNOI2009]有趣的数列

Posted 2020-10-07 wfj_2048

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

 

正解：卡特兰数。

打表以后发现是卡特兰数，然后直接分解质因数求组合数就行了。

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 #define N (1000010)
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int prime[N],num[N],n,p,cnt,phi,inv,ans;
10 
11 il int qpow(RG int a,RG int b){
12   RG int ans=1;
13   while (b){
14     if (b&1) ans=1LL*ans*a%p;
15     a=1LL*a*a%p,b>>=1;
16   }
17   return ans;
18 }
19 
20 il void divide(RG int n){
21   phi=n;
22   for (RG int i=2;i*i<=n;++i){
23     if (n%i) continue;
24     while (n%i==0) n/=i;
25     prime[++cnt]=i,phi=phi/i*(i-1);
26   }
27   if (n!=1) prime[++cnt]=n,phi=phi/n*(n-1); return;
28 }
29 
30 il void get(RG int n,RG int v){
31   for (RG int i=1;i<=n;++i){
32     RG int x=i;
33     for (RG int j=1;j<=cnt;++j){
34       if (x%prime[j]) continue;
35       while (x%prime[j]==0) num[j]+=v,x/=prime[j];
36     }
37     if (v==1) ans=1LL*ans*x%p;
38     else inv=1LL*inv*x%p;
39   }
40 }
41 
42 int main(){
43 #ifndef ONLINE_JUDGE
44   freopen("sequence.in","r",stdin);
45   freopen("sequence.out","w",stdout);
46 #endif
47   cin>>n>>p; divide(p),ans=inv=1;
48   get(2*n,1),get(n,-1),get(n+1,-1);
49   for (RG int i=1;i<=cnt;++i)
50     ans=1LL*ans*qpow(prime[i],num[i])%p;
51   ans=1LL*ans*qpow(inv,phi-1)%p;
52   cout<<ans; return 0;
53 }