YYHS-NOIP2017SummerTraining0914-问题 A: 组合数问题

Posted 2020-10-07 I__am

题目描述

组合数C(n,m)表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从(1, 2, 3)三个物品中选择两个物品可以有(1, 2),(1, 3),(2, 3)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数C(n,m)的一般公式：

C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)

 

其中n!= 1×2×···×n。

 

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)有多少对

 

i

(i,j)满足C(i,j)是k的倍数。

 

输入

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见【问题描述】。

 

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

 

输出

t行，每行一个整数代表所有的0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)中有多少对(i,j)满足C(i,j)是k的倍数。

 

样例输入

1 2 3 3 2 5 4 5 6 7

样例输出

1 0 7

提示

 

【样例 1 说明】

在所有可能的情况中，只有C(2,1)=2 是2的倍数。

 

 

 

题解

这道题刚看到以为要分解质因数，后来想到用C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)就可以了

用c[i][j]表示C(i,j)%k的值，再用s[i][j]表示第i行c[i][j]的前缀和，再判断当前的c[i][j]是否等于0，如果c[i][j]等于0那么s[i][j]++

每次输入的时候把前i个s[i][min(i,m)]加起来就可以了

因为n<=2000,t<=10000,所以枚举一遍i不会超

总的来说应该比较好理解的

#include<bits/stdc++.h>
#define N 2005
using namespace std;
int T,k,n,m,ans;
int c[N][N],s[N][N];
int main(){
    scanf("%d%d",&T,&k);
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=N-5;i++){
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%k;
    }
    for (int i=1;i<=N-5;i++){
        if (!c[i][1]) s[i][1]++;
        for (int j=2;j<=i;j++){
            s[i][j]=s[i][j-1];
            if (!c[i][j]) s[i][j]++;
        }
    }
    while (T--){
        ans=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            ans=ans+s[i][min(i,m)];
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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