Generative learning algorithm
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Generative learning algorithm相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
本讲大纲:
1.生成学习算法(Generative learning algorithm)
2.高斯判别分析(GDA,Gaussian Discriminant Analysis)
3.朴素贝叶斯(Naive Bayes)
4.拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)
1.生成学习算法
判别学习算法(discriminative learning algorithm):直接学习p(y|x)(比如说logistic回归)或者说是从输入直接映射到{0,1}.
生成学习算法(generative learning algorithm):对p(x|y)(和p(y))进行建模.
简单的来说,判别学习算法的模型是通过一条分隔线把两种类别区分开,而生成学习算法是对两种可能的结果分别进行建模,然后分别和输入进行比对,计算出相应的概率。
比如说良性肿瘤和恶性肿瘤的问题,对良性肿瘤建立model1(y=0),对恶性肿瘤建立model2(y=1),p(x|y=0)表示是良性肿瘤的概率,p(x|y=1)表示是恶性肿瘤的概率.
根据贝叶斯公式(Bayes rule)推导出y在给定x的概率为:
2.高斯判别分析
GDA是我们要学习的第一个生成学习算法.
GDA的两个假设:
- 假设输入特征x∈Rn,并且是连续值;
- p(x|y)是多维正态分布(multivariate normal distribution);
2.1 多维正态分布
若x服从多维正态分布(也叫多维高斯分布),均值向量(mean vector),协方差矩阵(convariance matrix),写成x~,
其密度函数为:
表示行列式(determinant).
均值:
协方差Cov(Z)== = ∑
高斯分布的一些例子:
左图均值为零(2*1的零向量),协方差矩阵为单位矩阵I(2*2)(成为标准正态分布).
中图协方差矩阵为0.6I,
右图协方差矩阵为2I
均值为0,方差分别为:
2.2 高斯判别分析模型
写出概率分布:
模型的参数为φ,μ0,μ1,∑,对数似然性为:
求出最大似然估计为:
结果如图所示:
1.3 讨论GDA和logistic回归
GDA模型和logistic回归有一个很有意思的关系.
如果把看做是x的函数,则有:
其中是的函数,这正是logistic回归的形式.
关于模型的选择:
刚才说到如果p(x|y)是一个多维的高斯分布,那么p(y|x)必然能推出一个logistic函数;反之则不正确,p(y|x)是一个logistic函数并不能推出p(x|y)服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.
- 如果p(x|y)真的服从或者趋近于服从高斯分布,则GDA比logistic回归效率高.
- 当训练样本很大时,严格意义上来说并没有比GDA更好的算法(不管预测的多么精确).
- 事实证明即使样本数量很小,GDA相对logisic都是一个更好的算法.
但是,logistic回归做了更弱的假设,相对于不正确的模型假设,具有更好的鲁棒性(robust).许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说,如果那么p(y|x)是logistic. logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型,把高斯分布应用于并不是高斯数据中,结果是不好预测的,GDA就不是很好了.
3.朴素贝叶斯
在GDA模型中,特征向量x是连续的实数向量.如果x是离散值,我们需要另一种学习算法了.
例子:垃圾邮件分类问题
首先是把一封邮件作为输入特征,与已有的词典进行比对,如果出现了该词,则把向量的xi=1,否则xi=0,例如:
我们要对p(x|y)建模,但是假设我们的词典有50000个词,那么,如果采用多项式建模的方式,会有,明显参数太多了,这个方法是行不通的.
为了对p(x|y)建模,我们做一个很强的假设,假设给定y,xi是条件独立(conditionally independent)的.这个假设成为朴素贝叶斯假设(Naive Bayes assumption).
因此有:
虽然说朴素贝叶斯假设是很强的,但是其实这儿算法在很多问题都工作的很好.
模型参数包括:
联合似然性(joint likelihood)为:
得到最大似然估计值:
很容易计算:
朴素贝叶斯的问题:
假设在一封邮件中出现了一个以前邮件从来没有出现的词,在词典的位置是35000,那么得出的最大似然估计为:
也即使说,在训练样本的垃圾邮件和非垃圾邮件中都没有见过的词,模型认为这个词在任何一封邮件出现的概率为0.
假设说这封邮件是垃圾邮件的概率比较高,那么
模型失灵.
在统计上来说,在你有限的训练集中没有见过就认为概率是0是不科学的.
4.laplace平滑
为了避免朴素贝叶斯的上述问题,我们用laplace平滑来优化这个问题.
回到朴素贝叶斯问题,通过laplace平滑:
分子加1,分母加1就把分母为零的问题解决了.
以上是关于Generative learning algorithm的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
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