codeforces 718EE. Matvey's Birthday

Posted 2020-10-06 Troy Ricardo

题目大意&链接：

　　http://codeforces.com/problemset/problem/718/E

　　给一个长为n（n<=100 000）的只包含‘a’~‘h’8个字符的字符串s。两个位置i,j(i!=j)存在一条边，当且仅当|i-j|==1或s[i]==s[j]。求这个无向图的直径，以及直径数量。

题解：

　　 命题1：任意位置之间距离不会大于15。

　　证明：对于任意两个位置i，j之间，其所经过每种字符不会超过2个（因为相同字符会连边），所以i，j经过节点至多为16，也就意味着边数至多为15。

　　然后我们对于每个节点，需要计算出其与其他节点距离，当然为了不重复，只需考虑pos小于当前节点的位置。此时我们分为两种情况：

　　1.|i-j|<=15;

　　2.|i-j|>15。

　　对于第一种我们是取|i-j|与i先到达一种字母，j也到达这种字母距离和取较小值。所以我们设

　　$F[i][c]$表示i节点到达c这种字母的最小距离。即i到j的距离为：$min(|i-j|,F[i][c]+1+F[j][c])$。

　　命题2：i与j到达的同一种字母的位置如果相同，一定不是最优解。

　　证明：假设到达同一个位置，那么只可能是通过这个位置的左右两个节点。那么，对于到达左右这两个节点如果其路径之间不存在相同的字母，那么其距离和|i-j|相同，如果存在相同字母，则一定比当前方式短。综上所述，到达同一位置一定不是最短路。

　　对于第二种，我们由命题1可知，其距离不会大于15。我们再来看一个命题：

　　命题3：设$dis[c1][c2]$表示c1字母到达c2字母的最小距离，那么我们有，若$s[i]==c1$，则$dis[c1][c2]<=F[i][c2]<=dis[c1][c2]+1$。

　　证明：这个……显然吧？

　　我们此时考虑对于第二种情况下的j，|i-j|一定不是最短的，所以一定是从$F[i][c]+1+F[j][c]$中选取最小值，那么由命题3可知，我们并不需要其确切位置，仅需知道$F[i][c]$与$dis[ci][c]$之间的关系，然后我们可以用一个二进制数$mark[j]$来表示其与$dis[cj][c]$之间的关系，然后我们把关系相同（即mark[j]相同）的j统计其数量，然后再求一下此时i与某一种mark之间的最短路即可。

 

代码：

　　

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 const int N=100100;
 6 int n,f[N][16],dis[20][20];
 7 char s[N];
 8 int q[N],d[N];
 9 int mark[N];
10 int c[N][1<<8];
11 inline void bfs(int c){
12     int l=0,r=0;
13     for(int i=1;i<=n;i++)if(s[i]-‘a‘==c){
14         q[r++]=i,d[i]=0;
15     }else   d[i]=-1;
16     bool vis[16]={0};
17     vis[c]=true;
18     while(l<r){
19         int now=q[l++];
20         if(!vis[s[now]-‘a‘]){
21             vis[s[now]-‘a‘]=true;
22             for(int i=1;i<=n;i++)
23                 if(s[i]==s[now]&&d[i]==-1){
24                     d[i]=d[now]+1;
25                     q[r++]=i;
26                 }
27         }
28         if(now>1&&d[now-1]==-1) q[r++]=now-1,d[now-1]=d[now]+1;
29         if(now<n&&d[now+1]==-1) q[r++]=now+1,d[now+1]=d[now]+1;
30     }
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32         if(d[i]!=-1)f[i][c]=d[i];
33 }
34 int main(){
35    // freopen("1.out","w",stdout);
36     scanf("%d",&n);
37     scanf("%s",s+1);
38     memset(f,0x3f,sizeof(f));
39     for(int i=0;i<8;i++)
40         bfs(i);
41     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
42     for(int i=1;i<=n;i++)
43         for(int j=0;j<8;j++)
44             dis[s[i]-‘a‘][j]=min(dis[s[i]-‘a‘][j],f[i][j]);
45     for(int i=1;i<=n;i++)   for(int j=0;j<8;j++)
46         if(f[i][j]>dis[s[i]-‘a‘][j])    mark[i]|=1<<j;
47    // for(int i=1;i<=n;i++)
48    //     printf("mark[%d]=%d\n",i,mark[i]);
49     int ans=0;
50     long long cnt=0;
51     for(int i=1;i<=n;i++){
52         for(int j=max(i-15,1);j<i;j++){
53             int now=i-j;
54             for(int k=0;k<8;k++)
55                 now=min(now,f[j][k]+1+f[i][k]);
56             if(now==ans)    cnt++;
57             if(now>ans)     ans=now,cnt=1;    
58         }
59         int t=i-16;
60         if(t>=1)    c[s[t]-‘a‘][mark[t]]++;
61         for(int j=0;j<8;j++)    for(int k=0;k<256;k++)
62             if(c[j][k]){
63                 int now=0x7fffffff;
64                 for(int l=0;l<8;l++){
65                     now=min(now,dis[j][l]+1+f[i][l]+((k&(1<<l))>>l));
66                    //printf("%d\n",(k&(1<<l))>>l);
67                 }
68                 if(now==ans)    cnt+=c[j][k];
69                 if(now>ans) ans=now,cnt=c[j][k];
70             }
71     }
72     printf("%d %lld\n",ans,cnt);
73 }