51Nod 1020 逆序排列

Posted 2020-10-06 心之所向 素履以往

                                                                                            1020 逆序排列

 

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

 

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

 

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

 

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

 

 

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Output

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input示例

1
4 3

Output示例

6

dp+离线处理
我们很容易想到状态 
dp[i][j] 代表在i个数的全排列中有j 的逆序数的方案数 
下面我们来考虑这个状态的转移 
显然将 i 插入 i-1 的排列中 不同的位置会产生不同的方案数 
可能不产生逆序数 可能产生 1个 或 2个 或3个.....但最多能产生 i-1 个逆序数

于是 f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+f[i-1][j-3]+f[i-1][j-4].........+f[i-1][j-(i-1)];
只有一个方程我们看不出怎么转移 
我们 再找另一个方程 f[i][j-1]; 
f[i][j-1]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j-1-1]+f[i-1][j-1-2]+f[i-1][j-1-2]...............f[i-1][j-1-(i-1)];

显然两个方程右边是有许多相同项的 
我们用上式减去下式 
得到 f[i][j]-f[i][j-1]=f[i-1][j]-f[i-1][j-1-(i-1)]; 
化简得到 f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j]-f[i-1][j-i];

于是就可以转移了 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cctype>
 3 
 4 const int mod=1000000007;
 5 const int MAXN=20010;
 6 
 7 int T,n,m;
 8 
 9 int dp[1010][MAXN];
10 
11 inline void read(int&x) {
12     int f=1;register char c=getchar();
13     for(x=0;!isdigit(c);c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar());
14     for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=getchar());
15     x=x*f;
16 }
17 
18 int hh() {
19     read(T);
20     for(int i=1;i<=1000;++i) dp[i][0]=1;
21     for(int i=2;i<=1000;++i)
22       for(int j=1;j<=20000&&j<=i*(i-1)/2;++j) {
23           dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-1][j])%mod;
24           if(j-i>=0) dp[i][j]=((dp[i][j]-dp[i-1][j-i])%mod+mod)%mod;
25       } 
26     while(T--) {
27         read(n);read(m); 
28         printf("%d\n",dp[n][m]);
29     }
30     return 0;
31 }
32 
33 int sb=hh();
34 int main(int argc,char**argv) {;}

代码