洛谷 P2647 最大收益

Posted 2020-10-06 一蓑烟雨任生平

P2647 最大收益

题目描述

现在你面前有n个物品，编号分别为1，2，3，……，n。你可以在这当中任意选择任意多个物品。其中第i个物品有两个属性Wi和Ri，当你选择了第i个物品后，你就可以获得Wi的收益；但是，你选择该物品以后选择的所有物品的收益都会减少Ri。现在请你求出，该选择哪些物品，并且该以什么样的顺序选取这些物品，才能使得自己获得的收益最大。

注意，收益的减少是会叠加的。比如，你选择了第i个物品，那么你就会获得了Wi的收益；然后你又选择了第j个物品，你又获得了Wj-Ri收益；之后你又选择了第k个物品，你又获得了Wk-Ri-Rj的收益；那么你获得的收益总和为Wi+(Wj-Ri)+(Wk-Ri-Rj)。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行一个正整数n，表示物品的个数。

接下来第2行到第n+1行，每行两个正整数Wi和Ri，含义如题目所述。

 

输出格式：

 

输出仅一行，表示最大的收益。

 

输入输出样例

输入样例#1：

2
5 2
3 5

输出样例#1：

6

说明

20%的数据满足：n<=5，0<=Wi,Ri<=1000。

50%的数据满足：n<=15，0<=Wi,Ri<=1000。

100%的数据满足：n<=3000，0<=Wi,Ri<=200000。

样例解释：我们可以选择1号物品，获得了5点收益；之后我们再选择2号物品，获得3-2=1点收益。最后总的收益值为5+1=6。

思路：

 

算法1：

 

首先考虑最暴力的做法，枚举每个物品是选还是不选。得到一个物品的集合后，枚举其全排列。在所有方案中找到最大值。时间复杂度O(2^n*n!)，可以通过20%的数据。

 

算法2：

 

考虑对题目进行一个等价的变换：即选择某个物品后，选择该物品前所有选择的物品的收益减少Ri。

 

然后我们可以贪心地对Ri从大到小排个序，然后搜索的时候只需要枚举每个物品是选还是不选，无需枚举全排列了。时间复杂度是O(2^n)，可以通过50%的数据。

 

算法3：

 

受算法2的启发，我们可以设计一个动态规划算法。首先仍然是要按照Ri从大到小排个序。然后设F[i][j]表示前i个物品中选j个可以获得的收益最大值。

 

状态转移方程：F[i][j]=max{F[i-1][j],F[i-1][j-1]+W[i]-R[i]*(j-1)}

 

边界条件：F[1][1]=W[1]

 

最后的答案=max{F[n][i]}

 

算法2和算法3的贪心的正确性不难证明。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,ans,f[3001][3001];
struct nond{
    int w,r;
}v[3001];
int cmp(nond a,nond b){
    return a.r>b.r;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d%d",&v[i].w,&v[i].r);
    sort(v+1,v+1+n,cmp);
    f[1][1]=v[1].w;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+v[i].w-v[i].r*(j-1));
    for(int i=1;i<=n;i++)        ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans; 
}