Codechef WEASELSC

Posted 2020-10-06 liouzhou_101

WEASELSC code

给定一个高度图 a[1..n] ，要求你减少图中一些地方的高度，使得得到的图是一个不超过 K 级的楼梯，要求楼梯的面积最大（即得到的图中所有位置的高度之和最大）。

这题题面特别不清晰，我们现在要形式化这个问题。

给定一个数组 a[1..n] ，要求找到一个数组 b[1..n]，使得
1. 对任意$1 \le i \le n$，有$0 \le b[i] \le a[i]$。
2. 存在 $1 \le L \le R \le n$，使得
2.0. 对任意 $1 \le i < L$ 或 $R < i \le n$，都有$b[i] = 0$。
2.1. 子数组 b[L..R] 是一个楼梯，并且楼梯级数不超过 K 。
3. 最大化 $sum(b) = \sum_{i=1}^n b[i]$。

一个数组 a[1..n] 是一个楼梯，如果 a[1..n] 单调，即 a[1..n] 单调（非严格）递增 或 单调（非严格）递减。

一个楼梯 a[1..n] 的级数为
$$ step(a[1..n]) = \sum_{i=2}^n [a[i] \neq a[i-1]]. $$

解：

这题是贪心与动态规划结合的题目，所以在解题之前要观察题目的一些性质。

观察0：若我们解决了单调递增楼梯的问题，则我们把整个数组 a[1..n] 翻转过来，即可解决单调递减楼梯的问题。

因此我们只需要考虑单调递增楼梯的求解。

观察1：若b[1..n]是满足条件并且最大化 $sum(b)$ 的数组，则存在 $1 \le i \le n$，使得 $b[i] = a[i]$ 且 b[i] 是最高的那一级楼梯。

观察2：若我们选定了某个 $1 \le i \le n$，使得 $b[i] = a[i]$ 作为整个楼梯最高级的高度，则贪心地往两边延伸，直到碰到比 a[i] 小的位置为止。

于是，我们可枚举最高级楼梯的高度所在的位置 i，从左右延伸得到一个高度为 a[i] 的平台，范围是 [L, R] 。
由于当前枚举的是最高级的楼梯，因此在 R 的右边不存在任何楼梯，我们只需要考虑 L 的左边的情况。
此时，必定有 a[L-1] < a[L] （我们额外定义 a[0] = -1 以处理边界情况）。
于是接下来的问题就是，如何利用 1..L-1 来建造 K-1 级楼梯，并且要求楼梯最右侧位于 L-1，以及使得楼梯的高度之和最大，我们令 f[L][K] 表示这个最大值。
对特定的 a[i]，我们把上述 L, R 分别记作 L[i], R[i]。

有动态规划方程
$$ f[i][k] = \max_{0 \le j < i} \{ f[j][k-1] + (i-j)a[j] : a[j] < a[p], \forall j < p < i \}. $$
以及边界条件 $f[0][k] = f[i][0] = 0$。

这是一个可以斜率优化的式子，我们把式子整理一遍，可得
$$ f[i][k] = \max_{0 \le j < i} \{ f[j][k-1]-ja[j] + ia[j] : a[j] < a[p], \forall j < p < i \}. $$
若令$x[j] = a[j], y[j] = f[j][k-1]-ja[j]$，则式子更加直观
$$ f[i][k] = \max_{0 \le j < i} \{ i x[j] + y[j] : a[j] < a[p], \forall j < p < i \}. $$

我们现在考虑哪些 j 可以被纳入动态规划的候选名单中。
我们记
$$ S(i) = \{ j : 0 \le j < i, a[j] < a[p], \forall j < p < i \}. $$

观察3：如果L[i] = L[j]，则S(i) = S(j)。

观察4：如果$j_1, j_2 \in S(i)$，则 $j_1 < j_2$ 当且仅当 $a[j_1] < a[j_2]$。

于是，我们在依次枚举 j = 1..n 的过程中，可以用单调队列维护集合 S，而拥有相同当前集合 S = S(i) 的 i 则满足 L[i] = j。
这时，集合 S 中用单调队列维护二维上凸壳 (x[j], y[j]) ，对于每个 i，可以利用二分法求得斜率为 i 的取最优解的二维点，并带入计算得到 f[i][k]。

时间复杂度 $O(Kn \log n)$ 。