[SDOI2010]地精部落

Posted 2020-10-06 蒟蒻ZJO :-)

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。

 

输出格式：

 

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

3

说明

说明：共有10种可能的山脉，它们是：

1[u]3[/u]2[u]4[/u] 1[u]4[/u]2[u]3[/u] [u]2[/u]1[u]4[/u]3 2[u]3[/u]1[u]4[/u] 2[u]4[/u]1[u]3[/u]

[u]3[/u]1[u]4[/u]2 [u]3[/u]2[u]4[/u]1 3[u]4[/u]1[u]2[/u] [u]4[/u]1[u]3[/u]2 [u]4[/u]2[u]3[/u]1

其中加下划线的数位表示可以设立瞭望台的山峰，其他表示可以设立酒馆的山谷。

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足N≤10；

对于40%的数据，满足N≤18；

对于70%的数据，满足N≤550；

对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

就是要求长度为n的排列的摆动数列的数量.

有三个引理

1、在n->n-1的转化过程中，我们删除了一个点后，我们可以将n-1个点视为仍是1~n-1的排列。

证明:假设把j删除了,那么将j以后的都-1,那么就是一个1-(j-1)的排列.

2、若排列Pn为一个合法抖动子序列，则交换i∈[1,n)与i+1,必能得到另一个抖动子序列(i与i+1不相邻)。

证明:手玩即可.

3、抖动序列的对称性，若存在第一段上升的长度为n的抖动子序列，则以n+1-x代x必能得到一个第一段下降的长度为n的抖动子序列。

证明:显然.

设f[i][j]表示长度为i的排列,这个排列的第一个数为j,且第一段下降的方案数.

1.若j与j-1不相邻,那么根据引理2,f[i][j]+=f[i][j-1].因为第一段下降所以第二个数不可能是j,所以j-1与j不相邻.

2.若j与j-1相邻,那么j的前面就是j-1,根据对称性,f[i][j]+=f[i-1][i-1-(j-1)+1]即f[i][j]+=f[i-1][i-j+1].

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define maxn 5000
 3 #define LL long long
 4 using namespace std;
 5 int n,mod;
 6 LL ans=0,f[2][maxn];
 7 int main(){
 8   scanf("%d%d",&n,&mod);
 9   int t=0,tt=1;
10   f[0][1]=1;
11   for(int i=2;i<=n;i++){
12     swap(t,tt);
13     for(int j=1;j<=i;j++)
14       f[t][j]=(f[t][j-1]+f[tt][i-j+1])%mod;
15   }
16   for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[t][i],ans%=mod;
17   printf("%lld",(ans*2)%mod);
18   return 0;
19 }