数论_筛法求素数

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数论_筛法求素数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

线筛,时间复杂度O(N log log N)

原理比较易懂,因为合数可以被分解为两个因数。

所以可以反过来,两个因数的乘积必定不是质数。

所以,通过一次次的枚举两个因数,合数就被“筛选”掉了,只留下质数在筛子里。

 

按照上述的原理,核心代码本应该是这样的:

bool vis[MAXN] = {true, true, false}; 
for(i = 2; i <= N; i++) {
    for(j = 2; i*j <= N; j++) {
        vis[i*j] = true; 
        //枚举两个因数,他们的乘积必定不是质数,所以筛掉 
   }
} 

 

然后vis[]数组里为false的的就是质数。

 

但是,我们还要加上下面几个必要的优化

1.首先,我们姑且称上面代码循环体中的i为基底因数,j为筛选因数

我们可以把i,j的筛选看成关于基底因数的筛选

那么,筛质数时,为了优化时间,我们必须要保证筛选因数要大于等于基底因数,即j >= i。

为什么只用大于等于i的筛选因数呢?

我们可以想到,假设我们选了一个小于i的j,那么这个j一定先于i,开始了关于j基底因数的筛选。

那么,因为i*j = j*i,那么i、j这两个数已经在之前关于j基底因数的筛选中,被分别作为筛选因数和基底因数被筛过一次了。

如果我们现在把i、j这两个数分别作为基底因数和筛选因数再筛一次,岂不是重复了么?

所以,因为没有必要去重复做两次工作,所以小于基底因数的筛选因数,我们可以舍掉不算。

 

2.其次,我们只需要把质数作为基底因数去筛选

因为合数可以被分解为很多质因数,所以把合数再筛一次,相当于重复做了它的质因数的工作。

又因为,筛法求质数中,筛过的质数表的范围是当前基底质数的平方。

所以,因为当N大于2时,N < (N-1)^2。所以我们可以将这个筛了一部分范围的质数表拿来用。

综上,我们首先把N标记为质数,然后向后一个个枚举,如果在当前质数表里是合数,就跳过。如果在当前质数表里是质数,就开始筛选。

 

3.因为筛过的质数表的范围是当前基底质数的平方。

所以,我们只用枚举基底质数一直枚举到(√N)+1就行了。

至于为什么要加一?因为基底质数一定是个整数,所以如果直接用√N可能会漏掉几个。加上1纯属保险。

 

下面是优化过的代码:

洛谷OJP3383 模板线性筛质数:1647ms

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>
bool vis[10000000+10] = {true, true}; 
void prim(int N) {
    int to = sqrt(N)+1, i, j; 
    for(i = 2; i <= to; i++) 
        if(!vis[i]) {
            for(j = i*i; j <= N; j += i) 
                vis[j] = true; 
        }
}
int main() {
    int N, M, i, a; 
    scanf("%d%d", &N, &M); 
    prim(N); 
    for(i = 1; i <= M; i++) {
        scanf("%d", &a); 
        if(vis[a]) printf("No\n"); 
        else printf("Yes\n"); 
    }
}

 

 

 

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以上是关于数论_筛法求素数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

初等数论-Base-1(筛法求素数,欧拉函数,欧几里得算法)

欧拉筛法求素数

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python埃式筛法求素数

一般筛法求素数+快速线性筛法求素数

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