数论_筛法求素数

Posted 2020-10-06

线筛，时间复杂度O（N log log N）

原理比较易懂，因为合数可以被分解为两个因数。

所以可以反过来，两个因数的乘积必定不是质数。

所以，通过一次次的枚举两个因数，合数就被“筛选”掉了，只留下质数在筛子里。

 

按照上述的原理，核心代码本应该是这样的：

bool vis[MAXN] = {true, true, false}; 
for(i = 2; i <= N; i++) {
    for(j = 2; i*j <= N; j++) {
        vis[i*j] = true; 
        //枚举两个因数，他们的乘积必定不是质数，所以筛掉 
   }
} 

 

然后vis[]数组里为false的的就是质数。

 

但是，我们还要加上下面几个必要的优化：

1.首先，我们姑且称上面代码循环体中的i为基底因数，j为筛选因数。

我们可以把i，j的筛选看成关于基底因数的筛选。

那么，筛质数时，为了优化时间，我们必须要保证筛选因数要大于等于基底因数，即j >= i。

为什么只用大于等于i的筛选因数呢？

我们可以想到，假设我们选了一个小于i的j，那么这个j一定先于i，开始了关于j基底因数的筛选。

那么，因为i*j = j*i，那么i、j这两个数已经在之前关于j基底因数的筛选中，被分别作为筛选因数和基底因数被筛过一次了。

如果我们现在把i、j这两个数分别作为基底因数和筛选因数再筛一次，岂不是重复了么？

所以，因为没有必要去重复做两次工作，所以小于基底因数的筛选因数，我们可以舍掉不算。

 

2.其次，我们只需要把质数作为基底因数去筛选。

因为合数可以被分解为很多质因数，所以把合数再筛一次，相当于重复做了它的质因数的工作。

又因为，筛法求质数中，筛过的质数表的范围是当前基底质数的平方。

所以，因为当N大于2时，N < (N-1)^2。所以我们可以将这个筛了一部分范围的质数表拿来用。

综上，我们首先把N标记为质数，然后向后一个个枚举，如果在当前质数表里是合数，就跳过。如果在当前质数表里是质数，就开始筛选。

 

3.因为筛过的质数表的范围是当前基底质数的平方。

所以，我们只用枚举基底质数一直枚举到（√N）+1就行了。

至于为什么要加一？因为基底质数一定是个整数，所以如果直接用√N可能会漏掉几个。加上1纯属保险。

 

下面是优化过的代码：

洛谷OJP3383 模板线性筛质数：1647ms

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>
bool vis[10000000+10] = {true, true}; 
void prim(int N) {
    int to = sqrt(N)+1, i, j; 
    for(i = 2; i <= to; i++) 
        if(!vis[i]) {
            for(j = i*i; j <= N; j += i) 
                vis[j] = true; 
        }
}
int main() {
    int N, M, i, a; 
    scanf("%d%d", &N, &M); 
    prim(N); 
    for(i = 1; i <= M; i++) {
        scanf("%d", &a); 
        if(vis[a]) printf("No\n"); 
        else printf("Yes\n"); 
    }
}

 

 

 

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