BZOJ2732[HNOI2012]射箭 二分+半平面交

Posted 2020-10-06 CQzhangyu

【BZOJ2732】[HNOI2012]射箭

Description

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

Input

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。 
 输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。 

Output

仅包含一个整数，表示最多的通关数。

Sample Input

5
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7

Sample Output

3

HINT

题解：显然先二分，然后变成了问你一堆不等式组是否有解。对于$ax^2+bx>=y$，等价于$b>=-ax+{y\over x}$，该不等式就变成了一条直线所分的半平面，我们判断所有半平面是否有交即可。

由于a<0,b>0，所以要加一些辅助线做限制。并且由于半平面的交可以是一个点，所以一开始要将b>=...变成b>...-eps。最后，用long double。

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long double ld;
const int maxn=500010;
const ld eps=1e-18;
struct point
{
	ld x,y;
	point() {}
	point(ld a,ld b) {x=a,y=b;}
	point operator + (const point &a) const {return point(x+a.x,y+a.y);}
	point operator - (const point &a) const {return point(x-a.x,y-a.y);}
	point operator * (const ld &a) const {return point(x*a,y*a);}
	ld operator * (const point &a) const {return x*a.y-y*a.x;}
};
struct line
{
	point p,v;
	ld a;
	line() {}
	line(point x,point y){p=x,v=y,a=atan2(v.y,v.x);}
}l[maxn];
int n,tot,h,t;
ld x[maxn],y[maxn],z[maxn];
int q[maxn];
inline point getp(line l1,line l2)
{
	point u=l1.p-l2.p;
	ld temp=(l2.v*u)/(l1.v*l2.v);
	return l1.p+l1.v*temp;
}
inline bool onlft(line a,point b)
{
	return a.v*(b-a.p)>0;
}
inline bool cmp(const line &a,const line &b)
{
	if(fabs(a.a-b.a)==0)	return !onlft(a,b.p);
	return a.a<b.a;
}
void HPI()
{
	sort(l+1,l+tot+1,cmp);
	int i,cnt;
	for(i=2,cnt=1;i<=tot;i++)	if(fabs(l[i].a-l[cnt].a)>0)	l[++cnt]=l[i];
	h=t=q[1]=1;
	for(i=2;i<=cnt;i++)
	{
		while(h<t&&!onlft(l[i],getp(l[q[t]],l[q[t-1]])))	t--;
		while(h<t&&!onlft(l[i],getp(l[q[h]],l[q[h+1]])))	h++;
		q[++t]=i;
	}
	while(h<t&&!onlft(l[q[h]],getp(l[q[t]],l[q[t-1]])))	t--;
}
bool check(int now)
{
	tot=0;
	int i;
	for(i=1;i<=now;i++)
		l[++tot]=line(point(0,y[i]/x[i]-eps),point(1,-x[i])),l[++tot]=line(point(0,z[i]/x[i]+eps),point(-1,x[i]));
	l[++tot]=line(point(-eps,eps),point(eps,1e10)),l[++tot]=line(point(-1e10,eps),point(1e10,2*eps)),
	l[++tot]=line(point(-1e10,1e10),point(-3*eps,-1e10)),l[++tot]=line(point(-eps,1e10),point(-1e10,4*eps));
	HPI();
	return t-h+1>=3;
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	//freopen("bz2732.in","r",stdin);
	n=rd();
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)	scanf("%Lf%Lf%Lf",&x[i],&y[i],&z[i]),y[i]+=eps,z[i]-=eps;
	int l=1,r=n+1,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))	l=mid+1;
		else	r=mid;
	}
	printf("%d",l-1);
	return 0;
}//1 1 1 2