数论初步——扩展欧几里得算法

Posted 2020-10-06 GGBeng

具体内容见紫书p313-p314

一、扩展欧几里得算法

思想：找出一对整数(x,y)，使得ax+by=gcd(a,b) 

举例：当“a=6,b=15”时，gcd(6,15)=3，故可以得到解“x=3,y=-1”，当然还有其他解“x=-2,y=1”。

程序：

/*	扩展欧几里得算法	*/ 
void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
{
	if(b == 0){			//边界，因为 a = gcd(a,0) = ax + 0y ，所以 x=1 , y=0 
		d = a;	x = 1;	y = 0;
	}
	else{
		gcd(b, a%b, d, y, x);		//x和y顺序变了 
		y -= x*(a/b); 
	}
}

　　

下面方程中的a,b,c为任意整数。

结论1：若方程ax+by=c的一组整数解为(x₀,y₀)，则它的任意整数解都可以写成(x₀+kb‘,y₀-ka‘)，其中a‘ = a/gcd(a,b)，b‘ = b/gcd(a,b)，k取任意整数。

结论2：设g = gcd(a,b)，方程 ax+by=g的一组解是(x₀,y₀)，则当c是g的倍数时ax+by=c的一组解是(x₀c/g,y₀c/g)；当c不是g的倍数时无整数解。